Sviluppo in serie di Taylor per funzioni scalari

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ZioGiò
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Sviluppo in serie di Taylor per funzioni scalari

Messaggio da ZioGiò »

Ciao a tutti!

Dopo una lunga latitanza (vabbè, visto l'esempio che in questi giorni primeggia sui giornali, direi che posso comunque essere considerato come un o-piccolo di latitante) rieccomi sul forum!
Ovviamente, al modo dei lontani parenti che senti solo quando hanno bisogno di un prestito o di farsi portare in qualche posto, propongo una domanda di analisi II, prossimo esame che dovrò affrontare.

Premetto che, scorrendo gli esercizi degli esami passati, questo argomento non è praticamente mai richiesto. La cosa è però appassionante e sono ormai 4 giorni che ci sudo sopra senza riuscire a cavare niente di utile...
Dunque, ho cercato in tutti i libri che avevo a vista (Bononcini, Ricci, Iaquinta...), ma non sono riuscito a capire come trasformare il potente formalismo indicante la formula di Taylor per una generica funzione a n variabili, in un qualcosa di pratico che permettesse di risolvere gli esercizi (per altro praticamente inesistenti al riguardo e senza soluzioni). Il formalismo in questione, presenta le derivate parziali della funzione rispetto tutte le sue variabili elevate ad un indice generico h. Una nota "precisa" che si tratta di una potenza simbolica (boh!)... A quanto pare non sono riuscito a decifrarla correttamente in quanto non mi sembra di ottenere risultati sensati.

Ad esempio: scrivere la formula di Taylor del 3° ordine centrata in (0, 0) delle funzioni:
$(2+xy^{2})^{-1}$ (mi risulta 1/2, assurdo!)
$log(1+x+y+xy)$
$x^{2}cos(xz)y^{2}$

Tralasciando il fatto che, a meno di errori, tutte le derivate non miste sono abbastanza complesse e SI ANNULLANO in (0, 0), ho provato a farlo con Derive, ma il programma mi chiede di indicare rispetto a quale variabile effettuare lo sviluppo. A quanto ho capito, lo sviluppo in serie di Taylor non è rispetto a una variabile...

Le mie domande sono le seguenti:
1) nella formula dello sviluppo di una funzione scalare del secondo ordine, ci sono derivate miste o devo fare il prodotto derivata rispetto a x derivata rispetto a y? Cioè è:
$f(P) = f(x_{0},y_{0}) + f_{x} + f_{y}+ 1/2(f_{xx}+ f_{yy}+ 2f_{xy})+ R(x, y)$
(dove le derivate parziali sono calcolate nel punto centro dello sviluppo)
oppure:
$f(P) = f(x_{0},y_{0}) + f_{x} + f_{y}+ 1/2( f_{xx}+ f_{yy}+ 2f_{x}f_{y})+ R(x, y)$
2) Qualcuno può gentilmente risolvermi uno (o più) degli esercizi proposti indicando tutti i passaggi?
3) Curiosità nella curiosità: e se avessi una funzione vettoriale? Che tipo di vettori otterrei?
4) Principalmente rivolto a mathmum, che spero in questi due mesi non abbia perso il suo "tocco" per i link utili :mrgreen:, ma aperto a chiunque: avete dei link di siti che trattino l'argomento con esempi e quant'altro? Io ho trovato alcune dispense di un americano che insegna a Roma e altri esercizi, purtroppo senza soluzioni...

Grazie a tutti per l'attenzione, e, ovviamente, buona Pasqua!

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ZioGiò
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Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Oh Ziogiò, non ci capisco un tubo, però ti segnalo questi link (attento ai vari sottolink all'interno di ciascuno).
Comunque, leggendo mi è stato utile e qualcosa ho iniziato a capire circa l'utilità dell' approssimazione nell'intorno di un punto.
I link segnalati sono ripetitivi per la parte teorica, ma mi pare che qualcuno faccia degli esempi.
Spero possano esserti utili: oltre una quarantina di anni fa, mi è capitato per avventura di studiare un pò di analisi a livello universitario e mi pare di ricordare che a quell'epoca esistevano dei testi di esercizi svolti.....ne esisteranno anche oggi?

http://www.matematicamente.it/analisi/form_tayl.htm

http://www.matematicamente.it/analisi/f ... l_limi.htm

http://wwwesterni.unibg.it/ctd/matgen/der/Es1185.htm

http://xoomer.virgilio.it/leinardi/appu ... Taylor.pdf

http://brazil.mat.uniroma1.it/dario/bio ... ode19.html

http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... limiti.htm

http://www.ripmat.it/mate/c/cj/cjd.html
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$\text { }$ciao Immagine ciao
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ZioGiò
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Messaggio da ZioGiò »

Ciao Pas!

Grazie dell'aiuto!
Però, a meno che non mi sia sfuggito qualcosa, i link da te riportati trattano solo lo sviluppo di Taylor per funzioni ad una sola variabile, un caso speciale della formulazione complicata dello sviluppo per n variabili, che implica prodotti tra matrici (la famosa Hessiana) e elevementi a potenze "simboliche".
Per quanto riguarda i libri di testo spero bene esistano eserciziari al riguardo, però io non ne ho trovati (e ho chiesto ad amici, sono stato in biblioteca e fatto ricerche in internet). Posso ipotizzare che questo sia un argomento un po' troppo avanzato per essere capito bene, ma che lo spieghino giusto per adempire ai doveri previsti dal programma, come, purtroppo, molte altre cose.
Però l'idea di approssimare una superficie, che già si fatica ad immaginare, con un altra superficie è davvero affascinante. Pensare che tramite un procedimento "meccanico" quasi banale (una volta imparato) si riesca a fare previsioni di questo tipo è davvero forte.

Vabbè, non stiamo a dannarci su queste cose...

Saluti!

ZioGiò
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Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Si, in effetti dalla scorsa veloce che ho fatto per vedere la pertinenza dell'argomento, ho sempre visto una sola variabile.....sorry.
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mathmum
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Messaggio da mathmum »

Ciao ZG!!!
Hai provato a dare un'occhiata alla "Bibbia"? http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html

In modo seppur biginozzato ci sono le formule per lo sviluppo in serie di Taylor di un funzione a 2 variabili e l'estensione a funzioni di n variabili.

Anche questo non sembrerebbe male, come primo approccio: http://www.math.gatech.edu/~carlen/2507 ... aylor.html

Nel frattime spulcerò un po' di antichi appunti di analisi 2, chissà che non salti fuori qualcosa di interessante... ciao!
mathmum

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mathmum
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Messaggio da mathmum »

Riciao Zio! (noto solo ora che hai esagerato a sopravvalutare i miei link!), comunque, caro il mio ing, ho trovato un'altra cosa carina, è un tema d'esame da ingegneri :roll: svolto contenente uno sviluppino di taylor in 2 variabili. E' un file postscript, quindi attrezzati di conseguenza! homepage.sns.it/brancoli/ didattica/ing ... es9/es9.ps
Hey, la settimana scorsa due dei miei fanciullozzi hanno passato il test di ingresso di ingegneria al poli!!!! (orgoglio di matemamma)
Domani sarò lì (al poli, poi a matematica) anche io hehehehehe
buona analisi due (blah bllah bllllllllaaaaaaahhhh _ ma no, non è vero, è.... carina....) (vado a vedere ballarò, ho straparlato troppo x stasera) ciao
mathmum

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ZioGiò
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Messaggio da ZioGiò »

Hallo mathmum!

Parola mia, ne sai sempre una più del diavolo!
Anche se ammetto la leggerezza di essermi dimenticato di cercare nel sito dell'inventore del mathematica!
Vabbè, errori di gioventù.
(noto solo ora che hai esagerato a sopravvalutare i miei link!)
Perchè dici ciò?

Complimenti ai due mathstudents... Ma che non si montino troppo la testa :mrgreen: la strada è tutta in salita (mi piace fare la parte dell'uomo navigato, un Vecchione insomma!)... Quanto hanno fatto di punteggio?
buona analisi due (blah bllah bllllllllaaaaaaahhhh _ ma no, non è vero, è.... carina....)
E' affascinante, ma farla studiare tutta in neanche 3 mesi... Dai!

Adesso mi attrezzo per vedere il .ps
Ancora una volta grazie!

Zio
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