Sopra e sotto.

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
Bruno
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 997
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Sopra e sotto.

Messaggio da Bruno » ven mar 08, 2019 12:22 pm

Sia $\small \,\overline{AB} = 2\cdot r\,$ il diametro noto di una circonferenza (consideriamolo orizzontale).
Sia $\small \,C\,$ il punto della semicirconferenza superiore distante $\small \,r\,$ da $\small \,A$.
Determinare la posizione del punto D della semicirconferenza inferiore con la seguente proprietà:
. chiamata $\small \,E\,$ l'intersezione di $\small \,\overline{AB}\,$ con $\small \,\overline{CD}$, è $\small \, \overline{AE}+\sqrt{2}\cdot\overline{ED} \,=\, \overline{AB}$.
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
(Biagio Marin)

Pasquale
Livello 11
Livello 11
Messaggi: 2307
Iscritto il: mer mag 25, 2005 1:14 am

Re: Sopra e sotto.

Messaggio da Pasquale » lun mar 18, 2019 7:29 pm

Cerchio.jpg
Cerchio.jpg (14.57 KiB) Visto 147 volte
AC = AG = CO = AO = OF = r
AB = CF = 2r
AH = OH = r/2
CH = GH = \frac{r\sqrt{3}}{2}

1) AE + ED\sqrt{2} =2r

Osservazioni:

se E coincidesse con H e quindi D con G, avremmo AE=AH, nonché ED=GH=CH; per cui nella 1) dovrebbe essere: \frac{r}{2}+\frac{r}{2}sqrt{3}sqrt{2}=2r,
il che non è vero, risultando il primo membro della 1) minore del secondo.

Dunque, dobbiamo considerare AE > AH, ma quanto può crescere AE ? Poniamo che sia AE = AO: in tal caso, avremmo AE=r con ED=OF=r,
per cui nella 1) sarebbe: r + r\cdot sqrt{2} > 2r (troppo)

Si deduce che deve essere AH < AE < AO, ove ad ogni AE corrisponde un diverso ED e in definitiva un diverso valore del primo membro della 1).
Necessita allora individuare l’angolo \alpha tale che sia verificata la 1).
Ritornando quindi alla figura di cui sopra e ponendo r=1, troviamo che:

CE = \frac{CH}{cos{\alpha}} = \frac{\sqrt{3}}{2cos{\alpha}}, ove 0 < \alpha < 30^{o}

CD = 2cos{\beta} = 2cos{(30^{o}-\alpha)}
ED = CD - CE
AE = AH + HE = \frac{1}{2} + CE \sin {\alpha}

Quando AE + ED\sqrt{2} = 2 per un certo \alpha e conseguentemente per un certo \beta, sarà FD = 2 \sin{\beta} che renderà nota la posizione di D.

Il compito di individuare il valore di FD approssimato alla quinta cifra decimale lo lascio al Decimal Basic, come qui di seguito:

OPTION ANGLE DEGREES
LET alfamax=30
LET incr = alfamax/100000
LET rad2=SQR(2)
LET rad3=SQR(3)

FOR alfa = incr TO alfamax STEP incr
LET beta = 30-alfa
LET CD=2*COS(beta)
LET CE=rad3/2*COS(alfa)
LET AE=0.5 + CE*SIN(alfa)
LET ED=CD-CE
LET S=AE+ED*rad2
IF ABS(S-2)<= 0.00001 THEN
LET FD=2*SIN(beta)
PRINT "FD =";FD
END IF
NEXT ALFA
PRINT
PRINT "fine"
END

Risultato : FD = 0,77505(0480318407)
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Bruno
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 997
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Re: Sopra e sotto.

Messaggio da Bruno » mar mar 19, 2019 9:48 am

Bravo Pasquale :D


Questo è stato il mio approccio.

Sopra e sotto.jpg
Sopra e sotto.jpg (10.67 KiB) Visto 141 volte

I triangoli ACE e DEB sono simili (due angoli sono opposti al vertice e gli altri insistono sugli stessi archi).
L'angolo in A e quello in D hanno l'ampiezza di 60° (A, C e il centro della circonferenza delimitano un triangolo equilatero, dal momento che AC è pari al raggio).
L'uguaglianza posta dal problema comporta che ED$\cdot \small \sqrt{2}$ = EB.
Utilizzando il teorema di seni, giusto per indicare un metodo, si trova facilmente che il seno dell'angolo in B (o in C) è uguale a $\frac{\sqrt{6}}{4}$, valore che corrisponde approssimativamente a un angolo di 37,76°.
Noto il seno $\frac{\sqrt{6}}{4}$, si deduce immediatamente il coseno $\frac{\sqrt{10}}{4}$.
Dunque, DB = AB$\cdot \frac{\sqrt{10}}{4}$ = r$\cdot\frac{\sqrt{10}}{2}\;$ (ABD è un triangolo rettangolo) e la posizione del punto D è determinata.
Ovviamente, si può considerare anche il segmento AD.
Se F è la proiezione ortogonale del punto D su AB, si osserva che FB è $\frac{5}{8}$ di AB.
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
(Biagio Marin)

Pasquale
Livello 11
Livello 11
Messaggi: 2307
Iscritto il: mer mag 25, 2005 1:14 am

Re: Sopra e sotto.

Messaggio da Pasquale » mar mar 19, 2019 11:19 pm

Bella: un tipo di soluzione che avevo cercato in prima battuta, ma mi mancava sempre qualcosa da confrontare.
Quindi ho deciso di passare al calcolo col Decimal, ma anche questo non è stato facile.
Comunque, un problema bello e divertente. Non vorrei esagerare, ma.....galeotto fu il libro e chi lo fece. :mrgreen:
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Rispondi