Somme che non si intersecano

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giobimbo
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Somme che non si intersecano

Messaggio da giobimbo » sab nov 10, 2018 12:59 pm

Su una circonferenza scegliamo n+1 punti, posti a distanze più o meno uguali l’uno dall’altro, e ad ognuno di essi assegniamo un numero scelto dall’insieme E={0, 2, 4, … , n}. Indichiamo con [X, Y] il segmento che unisce il punto X al punto Y, mentre s[X, Y] sarà il valore-somma di tale segmento, con s[X, Y]=x+y dove x è il numero assegnato al punto X e y il numero assegnato a Y.
Vogliamo costruire una specie di poligonale P={[A,B], [B,C], [C,D], … ,[X,Y], [Y,Z]} tale che s[A,B]=2, s[B,C]=4, …,s[Y,Z]=n+(n-2).

Un esempio con n=3 e quindi con i punti che hanno i numeri 0, 2, 4, 6. Disponiamoli in senso orario così come sono. L’unica poligonale ottenibile sarà:
P={[2,0], [0,4], [4,2], [2,6], [6,4]}.
Facendo il disegno si vede che [0,4] e [2,6] si intersecano. Proviamo a scambiare tra loro due numeri e vediamo cosa succede ponendo stavolta 0, 2, 6 e 4 in senso orario: non ci sono incroci, questa è la soluzione.

Problema. Sia n=10, disporre i numeri 0, 2, 4, … , 18, 20 sulla circonferenza in modo che la poligonale P non abbia mai linee che si intersecano (il punto in cui si congiungono due o più segmenti ovviamente non conta).

Bruno
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Re: Somme che non si intersecano

Messaggio da Bruno » lun nov 12, 2018 4:07 pm

Caro Giobimbo, sulla base di quello che ho capito leggendo il testo del tuo problema, avrei questa proposta:
Giobimbo.jpg
Giobimbo.jpg (39.58 KiB) Visto 937 volte
I punti in cui si congiungono i segmenti sono 'staccati' per mostrare più chiaramente il percorso seguito.

Dove tu scrivi:
s[Y,Z] = n+(n-2)
dovrebbe invece essere s[Y,Z] = 2·n+(2·n-2), dico bene ?

Può anche darsi, però, che io abbia mal inteso la tua richiesta, in tal caso sono sicuro che mi aiuterai a
interpretarla correttamente :wink:
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giobimbo
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Re: Somme che non si intersecano

Messaggio da giobimbo » mar nov 13, 2018 4:06 pm

La soluzione è corretta, bravo. Se ci hai lavorato sopra avrai capito che esiste un metodo per generarla a partire dal punto n: alla sua destra stanno i punti n-4, n-8, n-12, ..., fino ad arrivare a zero, alla sua sinistra stanno i punti n-2, n-6. n-10, ..., fino ad arrivare a zero.
Per quanto riguarda la tua correzione penso che ci sia stato una incomprensione, perché E={0, 2, 4, ..., 16, 18, 20} quindi n=20 e

s[Y,Z]=18+20=20+18=n+(n-2)

Bruno
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Re: Somme che non si intersecano

Messaggio da Bruno » mar nov 13, 2018 4:14 pm

Ok, Giobimbo, grazie :wink:

Riguardo alla mia segnalazione, mi ha forviato l'incipit "Su una circonferenza scegliamo n+1 punti...". Qui n non ha lo stesso significato considerato oltre.
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