Somma algebrica di coseni

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karl
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Somma algebrica di coseni

Messaggio da karl » gio ott 27, 2011 7:25 pm

Dimostrare che risulta :

\fbox{\large  \cos(\frac{\pi}{7})-\cos(\frac{2\pi}{7})+\cos(\frac{3\pi}{7})=\frac{1}{2}}

In questo caso "dimostrare" significa che non ci si deve limitare ad una semplice verifica con la calcolatrice ! :D

Pasquale
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Re: Somma algebrica di coseni

Messaggio da Pasquale » ven ott 28, 2011 11:32 pm

pongo:

a=\frac{\pi}{7}
x=cos(a)

cos(a) - cos(2a) + cos(3a) = cos(a) - [cos^2(a) - sen^2(a)] + [4cos^3(a) - 3cos(a)] = 4cos^3(a) - 2cos^2(a) - 2cos(a) +1

Quindi bisogna dimostrare che:

4x^3 -2x^2 - 2x +1 = \frac{1}{2}

8x^3 -4x^2 - 4x +1 = 0

Fra le soluzioni dell'equazione troviamo che x=0,9009688679024191 e quindi a = \arccos(x) = 0,448798950512828

Se \frac{\pi}{a} = 7, direi che l'assunto è dimostrato, anche se non ho potuto fare a meno di effettuare qualche calcolo:

\frac{\pi}{0,448798950512828} = 7

Per eliminare ogni calcolo, forse occorre un approccio geometrico ?
Ultima modifica di Pasquale il dom ott 30, 2011 1:17 am, modificato 2 volte in totale.
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\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

karl
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Re: Somma algebrica di coseni

Messaggio da karl » sab ott 29, 2011 5:06 pm

Confesso che i calcoli approssimati mi trasmettono sempre una vaga sensazione di incertezza ! Volendo una soluzione esatta si può far ricorso,come forse traspare anche dalla forma del quesito,alle radici settime di 1 e al fatto che ,a parte l'unica radice reale che è appunto 1,le altre 6 si dividono in 3 coppie di radici coniugate.

vittorio
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Re: Somma algebrica di coseni

Messaggio da vittorio » gio nov 10, 2011 10:31 am

Dimostrare che risulta : \cos(\frac{\pi}{7})-\cos(\frac{2\pi}{7})+\cos(\frac{3\pi}{7})=\frac{1}{2}

In questo caso "dimostrare" significa che non ci si deve limitare ad una semplice verifica con la calcolatrice !

Una soluzione "calcolatricefree" potrebbe essere la seguente.

Da \cos\left(\pi-x\right)=-\cos\left(x\right) si ricava \cos\left(\pi-\frac{2\pi}{7}\right)=\cos\left(\frac{5\pi}{7}\right)=-\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right).

Si deve quindi calcolare S=\cos(\frac{\pi}{7})+\cos(\frac{3\pi}{7})+\cos(\frac{5\pi}{7}) vale a dire la somma di coseni di archi in progressione aritmetica di primo termine \frac{\pi}{7} e ragione \frac{2\pi}{7} .

Sia S_{n}(\alpha,h)=\cos\left(\alpha\right)+\cos\left(\alpha+h\right)+\cos\left(\alpha+2h+......+\cos\left(\alpha+\left(n-1\right)h\right)\right) la somma di n coseni di archi in progressione aritmetica di primo termine \alpha e ragione h.
Per una nota formula risulta S_{n}\left(\alpha,h\right)=\frac{\cos\left((\pi-nh)/2\right)\cos\left(\alpha+(n-1)h/2\right)}{\cos\left((\pi-h)/2\right)}.

Nel caso specifico e utilizzando la formula di Werner per il coseno si ottiene

S=\frac{\cos\left(\pi/14\right)\cos\left(3\pi/7\right)}{\cos\left(5\pi/14\right)}=\frac{\cos\left(\pi/2\right)+\cos\left(5\pi/14\right)}{2\cos\left(5\pi/14\right)}=\frac{1}{2}

Salvo errori ed omissioni.
Vittorio

karl
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Re: Somma algebrica di coseni

Messaggio da karl » sab nov 12, 2011 6:09 pm

Bene Vittorio .Notevole quella formula...

archimede
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Re: Somma algebrica di coseni

Messaggio da archimede » mar mar 13, 2012 11:46 am

Un'altra versione, in fondo niente di nuovo a quanto gia' sopra scritto:

\cos(\pi\cdot \frac{1}{7})+\cos(\pi\cdot \frac{3}{7})-\cos(\pi\cdot \frac{2}{7})=\cos(\pi\cdot \frac{1}{7})+\cos(\pi\cdot \frac{3}{7})+\cos(\pi\cdot \frac{5}{7})=\frac{1}{2}

grazie alle formule di Eulero

\cos(\pi\cdot \frac{1}{7})+\cos(\pi\cdot \frac{3}{7})+\cos(\pi\cdot \frac{5}{7}) = 
\sum_{k=0}^{2} e^{i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}\cdot \left(2\cdot k+1\right)}+e^{-i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}\cdot \left(2\cdot k+1\right)}=1

essendo serie geometriche allora si puo' scrivere

e^{i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}}\cdot \frac{1-e^{i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}\cdot 6}}{1-e^{i\cdot \pi\cdot 2\cdot \frac{1}{7}}}+
e^{-i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}}\cdot \frac{1-e^{-i\cdot \pi\cdot 2\cdot \frac{1}{7}\cdot 6}}{1-e^{-i\cdot \pi\cdot 2\cdot \frac{1}{7}}}=1

svolgendo si ottiene
\frac{e^{i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}}+1}{1-e^{i\cdot \pi\cdot 2\cdot \frac{1}{7}}}+
\frac{e^{-i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}}+1}{1-e^{-i\cdot \pi\cdot 2\cdot \frac{1}{7}}}=1

che equivale a
\frac{e^{i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}}+1}{\left(1-e^{i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}}\right)\cdot \left(1+e^{i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}}\right)}+
\frac{e^{-i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}}+1}{\left(1-e^{-i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}}\right)\cdot \left(1+e^{-i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}}\right)}=1

e dunque

\frac{1}{1-e^{i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}}}+
\frac{1}{1-e^{-i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}}}=1

facendo il denominatore comune

\frac{2-e^{i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}}-e^{-i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}}}{2-e^{i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}}-e^{-i\cdot \pi\cdot \frac{1}{7}}}=1

spero sia corretta,
Ciao!

Tino
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Re: Somma algebrica di coseni

Messaggio da Tino » mar apr 17, 2012 12:43 pm

Ciao! Propongo di dimostrare il fatto più generale seguente: se n \geq 2 è un intero la somma

\sum_{k=1}^n (-1)^k \cos(k \pi/n)

vale -1 se n è pari, 0 se n è dispari.

Quindi se n > 1 è dispari allora usando il fatto che \cos(\alpha) = -\cos(\pi-\alpha) otteniamo

\sum_{k=1}^{(n-1)/2} (-1)^k \cos(k \pi/n) = -1/2.
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)

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