Trovare le soluzioni del seguente sistema:

$\{x^2y + xy^2 = 1\\x^3 + y^3 = 5$

$\left\{x = \frac{2 \pm \sqrt 2 } {2} \\ y = \frac{2 \mp \sqrt 2 } {2} \right.$

I suppose...

...

Yesss... sarei d'accordo anch'io con Panurgo

Infatti, per $\small xy(x+y)=1$ e $\small x^3+y^3=5$:

$\small (x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y) \, \to \, (x+y)^3=5+3\cdot 1 \, \to \, x+y=2$

e poi:

$\small xy(x+y)=2xy=1$,

quindi il sistema può diventare questo, più avvicinabile:

$\small \{x+y=2 \\ 2xy=1 \, ,$

che porta alle soluzioni indicate.


(Bruno)

Questo è stato il mio processo logico

Partendo dal sistema originale

$\left\{x^{\script 2}y + xy^{\script 2} = 1 \\ x^{\script 3} + y^{\script 3} = 5 \right.$

si moltiplica la prima riga per $3$

$\left\{ 3x^{\script 2}y + 3xy^{\script 2} = 3 \\ x^{\script 3} + y^{\script 3} = 5 \\ \right.$

e la si combina con la seconda ottenendo

$x^{\script 3} + 3x^{\script 2}y + 3xy^{\script 2} + y^{\script 3} = 8$

cioè

$\left( {x + y} \right)^ {\script 3} = 8\quad \Rightarrow \quad x + y = 2$

si riscrive quindi la prima riga raccogliendo $xy$

$xy\left( {x + y} \right) = 1\quad \Rightarrow \quad xy = \frac{1} {2}$

e si ottiene il sistema

$\left\{ x + y = 2 \\ xy = \frac {1} {2} \\ \right.$

che corrisponde all'equazione di secondo grado in $x$ (o $y$, l'è istess)

$2x^{\script 2} - 4x + 1 = 0\quad \Rightarrow \quad x = \frac{{2 \pm \sqrt 2 }} {2}\quad \Rightarrow \quad y = \frac{{2 \mp \sqrt 2 }} {2}$

Il valore di $y$ è imposto dalla simmetria delle equazioni.

E' sempre bello leggervi ragazzi: come riuscite a manipolare le cose voi, è sempre istruttivo.

Pasquale ha scritto:E' sempre bello leggervi ragazzi: come riuscite a manipolare le cose voi, è sempre istruttivo.

...non credere, anche per me è molto istruttivo leggere te e gli altri basecinquini