Si inscriva in un cerchio (Γ) ...

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Si inscriva in un cerchio (Γ) ...

Messaggio da franco » sab lug 06, 2019 8:36 am

Si inscriva in un cerchio $(Γ)$ di centro $O$ e raggio unitario un poligono regolare di $k$ lati $(k > 6)$ con vertici $A_1, A_2,..., A_k$.
Sia $P$ il punto simmetrico di $O$ rispetto alla corda $A_1A_{k-1}$ e $Q$ il simmetrico di $O$ rispetto alla corda $A_2A_6$.
La lunghezza del segmento $PQ$ è pari a quella del lato di un triangolo equilatero inscritto in $(Γ)$.

:?: Determinare $k$.


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Franco

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Re: Si inscriva in un cerchio (Γ) ...

Messaggio da panurgo » sab lug 06, 2019 10:53 am

Il vertice di un poligono di $k$ lati inscritto in un cerchio unitario ha coordinate

$\displaystyle \text{A}_i\equiv\left(\cos\frac{2\pi\cdot i}k;\sin\frac{2\pi\cdot i}k \right)$

cioè

$\displaystyle
\text{A}_1\equiv\left(\cos\frac{2\pi}k;\sin\frac{2\pi}k \right) \qquad
\text{A}_{k-1}\equiv\left(\cos\frac{2\pi\cdot \left(k-1\right)}k;\sin\frac{2\pi\cdot\left(k-1\right)}k \right) \qquad
\text{A}_2\equiv\left(\cos\frac{4\pi }k;\sin\frac{4\pi}k \right) \qquad
\text{A}_6\equiv\left(\cos\frac{12\pi }k;\sin\frac{12\pi}k \right)
$

Il simmetrico del centro di un cerchio rispetto ad una qualsiasi corda è il simmetrico rispetto al punto medio della corda stessa; e il simmetrico di un punto $\text{A}$ rispetto al punto $\text{B}$ è

$\displaystyle \text{A}^\prime = 2\text{B}-\text{A} = \left(2x_\text{B}-x_\text{A};2y_\text{B}-y_\text{A}\right)$

Nel nostro caso $\text{B}$ è, per le due corde rispettivamente

$\displaystyle
\frac{\text{A}_1 + \text{A}_{k-1}}2 \qquad
\frac{\text{A}_2+\text{A}_6}2
$

cioè

$\displaystyle
\text{P} = \text{A}_1 + \text{A}_{k-1}-\text{O} = \text{A}_1 + \text{A}_{k-1} \qquad
\text{Q} = \text{A}_2 + \text{A}_6-\text{O} = \text{A}_2 + \text{A}_6
$

dove $\text{O}\equiv\left(0;0\right)$ è il centro del cerchio.

Dobbiamo trovare un valore di $k$ tale che il quadrato della distanza tra $\text{P}$ e $\text{Q}$ sia uguale a $3$: con un po' di pazienza si trova $k=26$
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

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