Calcolare la somma dei primi 1000 termini delle serie seguenti:
(a) $2+6+12+20+30+......$
(b) $1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2+......$
Leandro
Serie di... serie
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
...
Butto giù il primo procedimento che mi viene in mente (mi tocca correre), ma
probabilmente si può fare qualcosa di molto più sbrigativo.
Utilizzerò la formula che mi dà la somma dei quadrati dei primi n numeri naturali e cioè:
$\sum_{i=1}^{n} i^{\tiny 2} = \frac{n\cdot (n+1)\cdot(2n+1)}{6}$.
La prima serie posso scriverla così:
$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+4\cdot 5+5\cdot 6+6\cdot 7+...+(2h-1)\cdot 2h+2h\cdot (2h+1)+...+999\cdot 1000+1000\cdot 1001$.
Quindi, sommando a due a due i successivi termini, ottengo:
$2(2\cdot 2)+4(2\cdot 4)+6(2\cdot 6)+...+2h(2\cdot 2h)+...+1000(2\cdot 1000)$,
vale a dire:
$8\cdot 1^2+8\cdot 2^2+8\cdot 3^2+...+8\cdot h^2+...+8\cdot 500^2 = 8\cdot \frac{500\cdot 501\cdot1001}{6} = \frac {1000\cdot 1001\cdot 1002}{3} = 1000\cdot 1001\cdot 334 = 334334\cdot 1000 = 334334000$.
Passando alla seconda serie, potrei ordinarla così:
$1^2+2^2+3^2+4^2+...+1000^2-2(2^2+4^2+6^2+8^2+...+1000^2) = 1^2+2^2+3^2+4^2+...+1000^2-8(1^2+2^2+3^2+4^2+...+500^2)$.
Avrei allora, servendomi del risultato ricavato poco fa per la prima serie:
$\frac{1000\cdot 1001\cdot2001}{6}-8\cdot \frac{500\cdot 501\cdot 1001}{6} =\frac{500\cdot 1001\cdot2001}{3}-\frac{500\cdot 1001\cdot 2004}{3}=-500\cdot 1001 = -500500$.
> Se&o
Bruno
Butto giù il primo procedimento che mi viene in mente (mi tocca correre), ma
probabilmente si può fare qualcosa di molto più sbrigativo.
Utilizzerò la formula che mi dà la somma dei quadrati dei primi n numeri naturali e cioè:
$\sum_{i=1}^{n} i^{\tiny 2} = \frac{n\cdot (n+1)\cdot(2n+1)}{6}$.
La prima serie posso scriverla così:
$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+4\cdot 5+5\cdot 6+6\cdot 7+...+(2h-1)\cdot 2h+2h\cdot (2h+1)+...+999\cdot 1000+1000\cdot 1001$.
Quindi, sommando a due a due i successivi termini, ottengo:
$2(2\cdot 2)+4(2\cdot 4)+6(2\cdot 6)+...+2h(2\cdot 2h)+...+1000(2\cdot 1000)$,
vale a dire:
$8\cdot 1^2+8\cdot 2^2+8\cdot 3^2+...+8\cdot h^2+...+8\cdot 500^2 = 8\cdot \frac{500\cdot 501\cdot1001}{6} = \frac {1000\cdot 1001\cdot 1002}{3} = 1000\cdot 1001\cdot 334 = 334334\cdot 1000 = 334334000$.
Passando alla seconda serie, potrei ordinarla così:
$1^2+2^2+3^2+4^2+...+1000^2-2(2^2+4^2+6^2+8^2+...+1000^2) = 1^2+2^2+3^2+4^2+...+1000^2-8(1^2+2^2+3^2+4^2+...+500^2)$.
Avrei allora, servendomi del risultato ricavato poco fa per la prima serie:
$\frac{1000\cdot 1001\cdot2001}{6}-8\cdot \frac{500\cdot 501\cdot 1001}{6} =\frac{500\cdot 1001\cdot2001}{3}-\frac{500\cdot 1001\cdot 2004}{3}=-500\cdot 1001 = -500500$.
> Se&o
Bruno
Ultima modifica di Bruno il sab apr 01, 2006 10:55 am, modificato 1 volta in totale.
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
OK per entrambe le serie ( ottimi procedimenti!)
Effettivamente qualche semplificazione si potrebbe ottenere.Per esempio
per la prima serie si tratta di eseguire la sommatoria:
$\sum_{i=1}^{1000}i(i+1)=\sum_{i=1}^{1000}i^2+\sum_{i=1}^{1000}i$
e poi applicare formule note.E cosi' per la seconda serie, ma alla fine si tratta
solo di variazioni sul tema.
Ciao.
Leandro
Effettivamente qualche semplificazione si potrebbe ottenere.Per esempio
per la prima serie si tratta di eseguire la sommatoria:
$\sum_{i=1}^{1000}i(i+1)=\sum_{i=1}^{1000}i^2+\sum_{i=1}^{1000}i$
e poi applicare formule note.E cosi' per la seconda serie, ma alla fine si tratta
solo di variazioni sul tema.
Ciao.
Leandro