Sequenze evanescenti

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

giobimbo
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 238
Iscritto il: sab nov 19, 2005 5:14 pm
Località: Biella

Sequenze evanescenti

Messaggio da giobimbo » mar set 23, 2008 10:47 am

Usando le lettere A, B e C formiamo l'insieme {A1, A2, B1, B2, C1, C2}; con tutti questi 6 elementi, qualcuno eventualmente ripetuto, costruiamo una sequenza, per esempio:

S = B1 B1 B2 A1 C1 B1 C1 C2 B2 A2 A2 C2 B2

La sequenza S ha 13 elementi. Se usiamo la regola che due lettere successive nella sequenza si annullano a vicenda se i loro numeri sono diversi, da S abbiamo, procedendo da sinistra a destra:

S(ridotta) = B1 B1 B2 A1 C1 B1 C1 C2 B2 A2 A2 C2 B2 =
= B1 A1 C1 B1 C1 C2 B2 A2 A2 C2 B2 =
= B1 A1 C1 B1 B2 A2 A2 C2 B2 =
= B1 A1 C1 A2 A2 C2 B2

A questo punto non ci sono più eliminazioni e S(ridotta) contiene 7 elementi. Proviamo a togliere tutte le occorrenze di una lettera, una per volta, otteniamo le tre sequenze ridotte:

S(ridotta) - A = B1 C1 C2 B2 = (semplificando ancora) = B1 B2 = ...
S(ridotta) - B = A1 C1 A2 A2 C2
S(ridotta) - C = B1 A1 A2 A2 B2 = B1 A2 B2

La sequenza ridotta di S(ridotta) - A non contiene alcun elemento, S(ridotta) è evanescente rispetto ad A.
Costruire una sequenza ridotta, la più corta possibile, usando tutti gli elementi dell'insieme {A1, A2, B1, B2, C1, C2}, qualcuno eventualmente ripetuto, tale che sia evanescente rispetto ad A, rispetto a B e rispetto a C.
Non è difficile, ma io ho dovuto dormirci sopra per risolvere questo problema, anche perché la versione che avevo letto chiedeva di costruire la sequenza oppure dimostrare che era impossibile. Questo problema algebrico corrisponde a uno topologico: una volta trovata la soluzione chiederò di disegnare anche la corrispondente soluzione topologica.


Aggiornamento del 27 settembre. La risoluzione della variante più semplice qui sotto, potrebbe dare lo spunto a qualcuno su come andare avanti.
Costruire una sequenza ridotta, la più corta possibile, usando tutti gli elementi dell'insieme {A1, A2, B1, B2}, qualcuno eventualmente ripetuto, tale che sia evanescente rispetto ad A e rispetto a B.
Queste sequenze ridotte ai minimi termini sono la descrizione algebrica di traiettorie nello spazio, tramite esse è possibile associare ad ogni spazio topologico un gruppo le cui proprietà algebriche ne riflettono quelle topologiche.

Pasquale
Livello 11
Livello 11
Messaggi: 2307
Iscritto il: mer mag 25, 2005 1:14 am

Re: Sequenze evanescenti

Messaggio da Pasquale » dom set 28, 2008 8:18 pm

Calma Giò, ché prima o poi qualcosa arriva.
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Pasquale
Livello 11
Livello 11
Messaggi: 2307
Iscritto il: mer mag 25, 2005 1:14 am

Re: Sequenze evanescenti

Messaggio da Pasquale » lun set 29, 2008 11:40 pm

Scusa, non so se ho capito, ma nella variante semplice proposta a titolo di spunto, la sequenza A1, B1, A2, B2, che mi sembra evanescente rispetto ad A e B, sarebbe una sequenza ridotta, oppure no?
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

giobimbo
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 238
Iscritto il: sab nov 19, 2005 5:14 pm
Località: Biella

Messaggio da giobimbo » mar set 30, 2008 5:00 pm

Siccome non si può ulteriormente semplificare essa è ridotta. Sì, è ridotta ed è una soluzione corretta: se togli le A, B1 e B2 si annullano a vicenda; se togli le B, A1 e A2 fanno lo stesso.

E, Pasquale... son calmo, non ho fretta, anche se perdessi il treno il biglietto però ce l'ho io in tasca.
:wink:

Pasquale
Livello 11
Livello 11
Messaggi: 2307
Iscritto il: mer mag 25, 2005 1:14 am

Re: Sequenze evanescenti

Messaggio da Pasquale » sab ott 04, 2008 12:20 am

Una sequenza può essere chiusa in cerchio, in modo che gli estremi diventino contigui?
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

giobimbo
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 238
Iscritto il: sab nov 19, 2005 5:14 pm
Località: Biella

risposta a Pasquale

Messaggio da giobimbo » sab ott 04, 2008 4:38 pm

Non si tratta di una sequenza circolare, l'avrei scritto chiaramente.

Il problema originale chiedeva se fosse possibile allacciare tra loro 4 braccialetti A, B, C e D, in modo che aprendone uno qualsiasi tutti gli altri tre si liberassero. Nel disegno c'è la soluzione di Pasquale per il semplice caso di 3 braccialetti A, B e D: aprendo il fermaglio di uno qualsiasi di essi gli altri due si liberano dall'annodatura. Il braccialetto D è diviso in quattro parti che corrispondono ai termini della sequenza A1 B1 A2 B2, ovvero dal prodotto di traiettorie D=A1*B1*A2*B2. Chiaramente, se si apre D, A e B sono liberi, se si apre A spariscono gli intrecci A1 e A2 e sia B che D si liberano, se si apre B spariscono gli intrecci B1 e B2 e sia A che D si liberano.
Allegati
3 braccialetti allacciati.gif
3 braccialetti allacciati.gif (4.2 KiB) Visto 3251 volte

Pasquale
Livello 11
Livello 11
Messaggi: 2307
Iscritto il: mer mag 25, 2005 1:14 am

Re: Sequenze evanescenti

Messaggio da Pasquale » mer ott 08, 2008 12:37 am

Bella la versione topologica; per i tre elementi, al momento una soluzione mi sembra ardua, anche se vi ho dedidicato poco tempo, sufficiente comunque per capire che ci sarà molto da faticare.
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

giobimbo
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 238
Iscritto il: sab nov 19, 2005 5:14 pm
Località: Biella

Messaggio da giobimbo » mer ott 08, 2008 10:29 am

La versione topologica è ardua, a meno di possedere capacità di visualizzazione simili a quelle di Poincaré o di Stephen Smale; la versione algebrica è più abbordabile e la bellezza della soluzione sta nel fatto di liberarsi dalla fissazione di credere che la strada che porta ad essa sia unica. Ovviamente la sequenza contiene un numero pari di elementi e quale suggerimento aggiungo che tali elementi sono più di 6.

Il capitolo 14 del libro "I gruppi e i loro grafi", Zanichelli, autori Grossman e Magnus, parla dei gruppi di traiettorie.
Il numero 132 della rivista "Le Scienze", nell'articolo di L. Neuwirth, contiene varie illustrazioni su come usare le traiettorie per trovare il gruppo di un nodo.

Sancho Panza
Livello 4
Livello 4
Messaggi: 151
Iscritto il: gio ott 12, 2006 8:01 pm

Re: Sequenze evanescenti

Messaggio da Sancho Panza » mer ott 08, 2008 4:54 pm

Soluzione con 10 elementi


S(ridotta) = A1 C1 B1 C2 A2 C1 A1 B2 A2 C2





S(ridotta) - A = C1 B1 C2 C1 B2 C2 = (semplificando ancora) ...

S(ridotta) - B = A1 C1 C2 A2 C1 A1 A2 C2 = (semplificando ancora) ...

S(ridotta) - C = A1 B1 A2 A1 B2 A2 = (semplificando ancora) ...

giobimbo
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 238
Iscritto il: sab nov 19, 2005 5:14 pm
Località: Biella

Messaggio da giobimbo » gio ott 09, 2008 9:04 am

Ottimo risultato Sancho Panza!

Come esercizio facoltativo rimane solo da fare il disegno dei 4 braccialetti allacciati, vedrò di preparare una spiegazione con disegni su come fare. Ora anticipo solo che il disegno con 3 braccialetti è anche conosciuto col nome di Anelli Borromei, dall'emblema della famiglia Borromeo.

giobimbo
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 238
Iscritto il: sab nov 19, 2005 5:14 pm
Località: Biella

in attesa della soluzione "topologica"...

Messaggio da giobimbo » ven ott 10, 2008 10:34 am

Come si evinceva anche dal disegno dei tre braccialetti bisogna trasformare ogni elemento della sequenza di Sancho Panza in un pezzo del braccialetto D, dove all'elemento Xn della sequenza corrisponde un tratto che passa dentro il braccialetto X, prima sopra e poi sotto se n=1 e viceversa se n=2. Il problema, dovuto al matematico tedesco Brunn, risale alla fine del 1800 e si dimostra che è risolvibile per qualsiasi numero di braccialetti. Sul web cercare "Brunnian links". Aggiungo alcune note finali di approfondimento:


Figura sotto, a sinistra.
Nello spazio tridimensionale scegliamo un punto P e da esso tracciamo una traiettoria a, rappresentata da una curva chiusa orientata che parte da P e finisce in P; tracciamo una traiettoria b e definiamo il loro prodotto c=a*b come la curva unione di a e b, ma staccando il punto finale di a (compresi un bel po' di punti ad esso attaccati) e il punto iniziale di b (compresi un bel po' di punti ad esso attaccati) dal punto P.
Due traiettorie si dicono omotope se è possibile ottenere l'una dall'altra tramite una deformazione continua, senza strappi. Si vede facilmente che a, b e c sono omotope l'una con l'altra e, siccome l'omotopia è una relazione di equivalenza, metteremo a, b e c assieme nella classe [1].

Figura sotto, al centro.
Poniamo nello spazio una ciambella A e sia d una traiettoria che passa lontana da A, e sia e una traiettoria che entra nel buco della ciambella e ne esce passandoci sotto per raggiungere P. Ora d ed e non sono più omotope perché e è "prigioniera" della ciambella, bisognerebbe romperla, o rompere A, per sovrapporle: diremo che e appartiene alla classe [A1]. Sia f una traiettoria che entra nel buco della ciambella, ma passando prima di sotto e uscendo poi da sopra, deformando f possiamo ora sovrapporla ad e ma i loro orientamenti sono diversi, mettiamo f nella classe [A2].

Figura sotto, a destra.
Se ora usiamo le classi a indicare una qualsiasi traiettoria appartenente a tale classi vediamo che esse, tramite l'operazione prodotto *, formano un gruppo. Ad esempio (nella figura ci sono solo gli ultimi due prodotti):
[1] * [1] = [1]
[1] * [A1] = [A1]
[A1] * [A1] = [2A1]
[A1] * [A2] = [1]
Allegati
traiettorie.gif
traiettorie.gif (7.09 KiB) Visto 3120 volte

Pasquale
Livello 11
Livello 11
Messaggi: 2307
Iscritto il: mer mag 25, 2005 1:14 am

Re: Sequenze evanescenti

Messaggio da Pasquale » lun ott 13, 2008 7:25 pm

Immagine

mi pare che la formazione intermedia possa essere ripetuta all'infinito, talché ogni anello tagliato libera tutti gli altri
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

giobimbo
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 238
Iscritto il: sab nov 19, 2005 5:14 pm
Località: Biella

Allacciamento infinto

Messaggio da giobimbo » gio feb 02, 2017 6:38 pm

Bravissimo Pasquale!
Infatti, rappresentando schematicamente il tuo allacciamento in questo modo:

O C C O

otteniamo tutti i possibili numeri di braccialetti allacciati continuando con:

O C C C O
O C C C C O
...

Se apriamo un O si liberano tutti i C e infine l'ultimo O; se apriamo un C si liberano tutti gli altri C e infine i due O. Perfetto.

Pasquale
Livello 11
Livello 11
Messaggi: 2307
Iscritto il: mer mag 25, 2005 1:14 am

Re: Sequenze evanescenti

Messaggio da Pasquale » ven feb 03, 2017 3:58 am

Grazie Giò, è proprio vero che non avevi fretta, ma purtroppo dopo oltre 8 anni e con l'avanzare dell'età, ti giuro che non ricordavo più nulla del quisssssssss, nè di avervi partecipato e tanto meno d'aver trovato una soluzione in "appena" una ventina di giorni....misteri della mente umana..... :? :shock: :D
Comunque ti ringrazio a nome di quel Pasquale, ormai svanito nelle "riduzioni" della vita. :wink:
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

peppe
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 840
Iscritto il: gio mag 26, 2005 1:41 pm
Località: Cirò Marina KR

Re: Sequenze evanescenti

Messaggio da peppe » ven feb 03, 2017 4:08 pm

Pasquale ha scritto:...Comunque ti ringrazio a nome di quel Pasquale, ormai svanito nelle "riduzioni" della vita. :wink:
Esagerato!
Certe persone sono come il vino DOC e tu , per me, appartiene alla "categoria dei vini DOP "... :D Ciao.
«Un uomo è come una frazione il cui numeratore è quello che è, e il cui denominatore quello che pensa di sé.
Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

Rispondi