senx+ cosx

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dotto

senx+ cosx

Messaggio da dotto » ven dic 16, 2005 2:00 am

Dimostrare che (senx + cosx)^4 \le 4

antonio
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Messaggio da antonio » ven dic 16, 2005 7:05 am

perché?
Ogni limite ha una pazienza! (Totò)

antonio
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Messaggio da antonio » ven dic 16, 2005 7:08 am

La somma cos x + sin x raggiunge il suo massimo per x = 45°, dove è uguale alla radice quadrata di 2.
Elevando il tutto alla 4ª si ottiene che (cos x + sin x)^4 al più vale 4.
Credo...

Ma ripeto poiché non mi è chiaro:
perché?
Ogni limite ha una pazienza! (Totò)

Bruno
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Messaggio da Bruno » lun dic 19, 2005 5:33 pm

...

D'accordissimo con il risultato di Antonio.

Penso che si potrebbe dimostrare l'affermazione di Dotto anche così.

Innanzitutto parto dall'identità algebrica:

\displaystyle p^2 = (p+q)^2 -2pq - q^2.

In essa faccio due sostituzioni:

. al posto di p scrivo il quadrato \displaystyle \, (senx+cosx)^2 ,
. al posto di q, invece, scrivo il quadrato \displaystyle \, (senx-cosx)^2 .

Quindi riduco il primo termine del membro destro:

\displaystyle (p+q)^2 = [(senx+cosx)^2+(senx-cosx)^2]^2,

sapendo che \displaystyle sen^2x+cos^2x =1, e così ottengo la seguente uguaglianza:

\displaystyle (senx+cosx)^4 = 4 -2\cdot (senx+cosx)^2\cdot (senx-cosx)^2 - (senx-cosx)^4.

Pertanto, il valore massimo raggiunto da \displaystyle \, (senx+cosx)^4 \, è \displaystyle \, 4 \, e ciò si
verifica quando i due termini sottratti sono nulli (visto che non possono essere
negativi, essendo formati da seconde e quarte potenze), cioè quando:

\displaystyle senx=cosx.

Diversamente, \displaystyle \, (senx+cosx)^4 \, < \, 4 \,.

Se&o ---

;) Bruno

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