Semicerchi e quadrati

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0-§
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Semicerchi e quadrati

Messaggio da 0-§ » mar set 15, 2015 7:16 pm

Questo problema è breve da enunciare, ma arduo da risolvere...

Da una lamina quadrata vogliamo ritagliare tre semicerchi uguali.
Vogliamo anche che l'area residua sia la minore possibile.
Qual è il raggio dei tre semicerchi?

Avviso che non ho una soluzione ufficiale, perché è un problema che
ho creato io.

Buon lavoro!
ZerInf
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

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panurgo
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Re: Semicerchi e quadrati

Messaggio da panurgo » mar set 15, 2015 10:10 pm

Questo è il meglio che riesco a pensare così, al volo:
panurgo_SC&Q001.png
panurgo_SC&Q001.png (34.97 KiB) Visto 1839 volte
$\displaystyle r\,=\,\left(\sqrt{2}\,-\,1\right)\,L \qquad A\,\approx\,81\%$
il panurgo

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Re: Semicerchi e quadrati

Messaggio da 0-§ » mar set 15, 2015 11:40 pm

Io avevo pensato a una soluzione con simmetria assiale come quella in figura, però la tua mi batte!
Infatti se il quadrato ha lato 1, nella mia il semicerchio ha raggio 0.37 (la costruzione è approssimata).
Si riesce a fare di meglio?
semicerchi_1.png
semicerchi_1.png (24.66 KiB) Visto 1837 volte
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Re: Semicerchi e quadrati

Messaggio da panurgo » dom set 20, 2015 6:00 pm

Partiamo dalla tua soluzione
panurgo_SC&Q003b.png
panurgo_SC&Q003b.png (16.89 KiB) Visto 1800 volte
Il valore di $r\,=\,0,373556\ldots$ si ottiene dall’equazione

$\displaystyle r\,+\,\sqrt{r^2\,-\,\left(\frac12\,-\,r\right)^2}\,+\,\sqrt{r^2\,-\,\left(1\,-\,2r\right)^2}\,=\,1$

Se spostiamo il semicerchio inferiore del tutto a destra otteniamo qualcosa del tipo
panurgo_SC&Q007b.png
panurgo_SC&Q007b.png (18.39 KiB) Visto 1800 volte

ed è evidente che si può fare meglio: aumentiamo il raggio e otteniamo
panurgo_SC&Q008b.png
panurgo_SC&Q008b.png (19.98 KiB) Visto 1800 volte
soluzione per la quale il valore di $r\,=\,\frac5{13}$ si ottiene dall’equazione

$\displaystyle r\,+\,2\,\sqrt{r^2\,-\,\left(1\,-\,2r\right)^2}\,=\,1$

Se ora inseriamo il secondo semicerchio a rovescio
panurgo_SC&Q011b.png
panurgo_SC&Q011b.png (13.71 KiB) Visto 1800 volte

osserviamo che è possibile un ulteriore miglioramento: aumentiamo il raggio fino a che la figura diviene simmetrica
panurgo_SC&Q012b.png
panurgo_SC&Q012b.png (13.23 KiB) Visto 1800 volte

ed è evidente che il raggio di questi semicerchi, $r\,=\,\sqrt{2}\,-\,1$, è dato dall’equazione $r\,+\,2r/\sqrt{2}\,=\,1$.
Questa è la mia soluzione
panurgo_SC&Q010b.png
panurgo_SC&Q010b.png (14.68 KiB) Visto 1800 volte
e mi pare altresì evidente che non è possibile migliorarla…
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Re: Semicerchi e quadrati

Messaggio da Gianfranco » dom set 20, 2015 10:40 pm

Bello il problema posto, belle le soluzioni date e grandiosa la dimostrazione di Panurgo.
Mi piacciono da matti queste mostrazioni che sono anche di-mostrazioni, che le vedi e le capisci al volo (o almeno ti sembra di averle capite al volo).
e mi pare altresì evidente che non è possibile migliorarla…
Quest'ultima frase è matematica solo al 90%, ma questa è un'altra storia...
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Semicerchi e quadrati

Messaggio da panurgo » lun set 21, 2015 6:56 pm

Vediamo se è possibile renderla un po’ più rigorosa.

Premesso che il quadrato ha lato unitario, osserviamo che:

1.un semicerchio deve essere quanto più possibile vicino ad un lato in modo da lasciare spazio agli altri semicerchi.

2.quando un semicerchio è tangente ad un lato con la base occupa meno spazio dello stesso semicerchio tangente al lato con la semicirconferenza
panurgo_SC&Q013b.png
panurgo_SC&Q013b.png (22.88 KiB) Visto 1784 volte
3.quando un semicerchio è tangente al lato con la semicirconferenza, il suo centro giace su una delle rette $x\,=\,r$, $x\,=\,1\,-\,r$, $y\,=\,r$ o $y\,=\,1\,-\,r$

4.quando il semicerchio è tangente con la semicirconferenza a due lati (consecutivi) il suo centro giace su due di tali rette e quindi su una diagonale del quadrato

5.quando un semicerchio è tangente con la base alla semicirconferenza di un altro semicerchio, l'altezza raggiunta è minima quando il punto di tangenza è il centro del semicerchio (che giace su una delle rette)
panurgo_SC&Q014b.png
panurgo_SC&Q014b.png (15.52 KiB) Visto 1784 volte
questo perché cambiando punto di tangenza il centro del semicerchio si alza e la semicirconferenza dista sempre $r$ dal centro stesso.
Di conseguenza, il massimo che si può ottenere con un semicerchio tangente con la base e gli altri due con la semicirconferenza è quello in figura (con $r\,=\,\frac5{13}$)
panurgo_SC&Q008b.png
panurgo_SC&Q008b.png (19.98 KiB) Visto 1784 volte
Se ora vogliamo mettere tre semicerchi tangenti con la base otteniamo questo massimo
panurgo_SC&Q015b.png
panurgo_SC&Q015b.png (13.86 KiB) Visto 1784 volte
il cui raggio vale $r\,=\,\frac{\sqrt{19}\,-\,2}{6}$ essendo determinato dall’equazione

$\displaystyle \sqrt{4r^2\,-\,\frac14}\,+\,r\,=\,1$

Infine, nella mia soluzione, i due semicerchi tangenti con la base hanno la dimensione massima e il terzo semicerchio è ad essi tangente
panurgo_SC&Q010b.png
panurgo_SC&Q010b.png (14.68 KiB) Visto 1784 volte
Spero che questo sia più convincente…
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Re: Semicerchi e quadrati

Messaggio da 0-§ » sab set 26, 2015 10:16 am

Che dire, panurgo? Eccellente lavoro! :wink:

Se avete tempo, io rilancio: il problema è lo stesso, ma anziché 3 semicerchi dobbiamo incastrare 5 terzi di cerchio (sempre
all'interno di un quadrato). Con terzi intendo dire settori circolari con angolo al vertice di 120°. Il migliore risultato che ho
ottenuto è quello di cui sotto, dove il raggio di ciascun settore è pari a 0.37 (fatto 1 il lato del quadrato). Qualcuno riesce a
migliorare il risultato?
cinque_settori.png
cinque_settori.png (32.73 KiB) Visto 1757 volte
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