Incuriosito dal titolo: Euclide. Giornale di matematica per i giovani, ho voluto dare
uno sguardo a questo sito:
http://www.euclide-scuola.org/

Si tratta di un sito veramente spartano e come tale un po' noioso da esplorare.
Però se uno si arma di pazienza e clicca e riclicca sui vari links, può
scoprire parecchie cosette che, a mio modestissimo giudizio, sono interessanti.
Cliccando sul link della sezione denominata "•N. 120 ANGOLO ACUTO. Tutti i numeri della III Serie, questo
si espande per cui appaiono ben altri 11 links.

Io ho aperto il primo:
◦N. 122 ANGOLO ACUTO, Palestra per i Giovani appassionati di Matematica, Serie III, N. 1, che
a sua volta si è espanso (ve l'ho detto che ci vuole pazienza...) nei seguenti 5 sotto links:

6.0 Indice
6.1 La Redazione, Ai lettori
6.2 Antonio Salmeri, Biografia di Giuseppe Spinoso
6.3 Ennio De Giorgi, I giovani e la matematica
6.4 Problemi risolti e da risolvere

Ebbene cliccando sull'ultimo (6.4 Problemi risolti e da risolvere)
Si apre questo : file in formato PDF, in cui ci sono i testi di 5 quesiti da risolvere.
Sono tutti abbastanza sfiziosi.
Spero nell'aiuto di qualche "paziente" basecinquino, per veder soddisfatta la curiosità
destata dal primo quesito Problema 1.1

Ad uso di chi non ha né pazienza né tempo disponibile, riporto il testo (senza figura) del quesito:

Se si indica con r il raggio del cerchio inscritto in un triangolo rettangolo (fig.1), con h
l'altezzarelativa all'ipotenusa e con r1 e r2 i raggi dei cerchi inscritti nei due triangoli
rettangoli in cui l'altezza h divide il triangolo dato, dimostrare che si ha: h = r+r1+r2.

Spero che qualcuno non ritenga troppo banali i restanti quattro quesiti e si sbizzarrisca nella
loro risoluzione.

Saluti. peppe

Grazie per la segnalazione Peppe.
Talvolta i siti spartani sono come il panettone genovese: poca scena e tante sorprese dentro.
Il problema che proponi si può dimostrare con qualche astuzia algebrica e praticamente senza geometria.
L'unica proprietà geometrica che si usa è la seguente relazione fra i lati di un triangolo rettangolo e il raggio del cerchio inscritto:
b+c-a=2r

Applichiamo la stessa proprietà ai due triangoli più piccoli e addizioniamo le due espressioni.
u+h-b=2r'
v+h-c=2r"
---------
u+h-b+v+h-c=2r'+2r"

Tenendo conto che:
u+v=a

sostituiamo nella u+h-b+v+h-c=2r'+2r":
a+h-b+h-c=2r'+2r"

Tenendo conto che (è la relazione iniziale):
b+c-a=2r
ovvero
-b-c+a=-2r

sostituiamo nella a+h-b+h-c=2r'+2r":
-2r+2h=2r'+2r"

Spostiamo -2r e dividiamo per 2:
h=r+r'+r"

Fine.

Grazie Gianfranco per la bella ed elegante dimostrazione.
Non ci sarei mai arrivato anche perché il problema non è affatto banale.

Hai scritto " Talvolta i siti spartani sono come il panettone genovese: poca scena e tante sorprese dentro".

Concordo: quello che conta è la sostanza!

Spero di rileggerti presto... Ci sono altre 4 "ostriche" da aprire per ammirare le "perle" che contengono.

Slurp... peppe.

La dimostrazione di Gianfranco ha stuzzicato la mia curiosità.
In particolare l'affermazione:
"L'unica proprietà geometrica che si usa è la seguente relazione fra i lati di un triangolo rettangolo
e il raggio del cerchio inscritto: b+c-a = 2r

E così, (non per sfiducia. Ci mancherebbe!), ma per approfondimento, mi sono messo all'opera...
Ho cercato: "Relazione fra i lati di un triangolo rettangolo e il raggio del cerchio inscritto".

Qui leggo:

"Nel caso particolare di un triangolo rettangolo in cui è inscritta una circonferenza, mi pare valga la relazione
r = (c1+c2-i)/2 dove c1 e c2 sono i cateti ed i l'ipotenusa. La si può anche dimostrare con semplicità, ricordando
soltanto una nota proprietà delle due tangenti ad un circonferenza passanti per un punto esterno ad essa)
+++
E allora cerco: "Proprietà delle due tangenti ad un circonferenza passanti per un punto esterno ad essa"
e trovo questa dimostrazione. Interessante ma non soddisfacente.
Decido di rispolverare il vecchio " Minaudo ( i "matusa" sanno di cosa parlo):
"Teorema 201 pag.76 : "Ogni triangolo è sempre inscrittibile e circoscrittibile"

"Teorema 341pag.161: "Il raggio del cerchio inscritto in un triangolo si ottiene dividendo l'area del triangolo
per il suo semiperimetro : r = A/p

Ne trovo conferma qui e anche qui.

Non sono soddisfatto perché non contengono la formula che cerco.
Forse potrei arrivarci tramite il formulario relativo al triangolo rettangolo, ma non mi va.
Riprovo e finalmente qui leggo:

"In un triangolo rettangolo la somma delle misure dei cateti supera la misura dell'ipotenusa
di un segmento pari al diametro della circonferenza.
c1 + c2 = i + 2r e quindi r = (c1+c2- i)/2 con relativa dimostrazione.
Ora mi posso ritenere soddisfatto!
Saluti. peppe.