Non mi ero accorto che il titolo chiedeva tutte le soluzioni intere. Ma se 1, 49 e -50 costituiscono complessivamente 12 soluzioni, allora anche 14, 41 e -55 Infatti se sostituisco x con z-y dove z=x+y ottengo $(z-y)^2+(z-y)y+y^2=z^2-zy+y^2$ quindi [y, -z] è una soluzione Le restanti 6 soluzioni son...

Poiché la somma termina con 1, y potrebbe essere 1 Se poniamo y=1 risulta: $x^2+x=2450$ $(x+1)x=50\cdot49$ $x=49$ [49, 1] è la soluzione più semplice, ma ce ne sono altre 23. Ovviamente [1, 49], [-49, -1], [-1, -49], ma anche [-50,1], [1, -50], [50, -1] e [-1, 50] Il problema può essere visto anche ...

E' corretto, la figura non ha un asse di simmetria ma un centro.

E questa è la terza

Notevole, io mi ero fermato a 0,1728

La soluzione n.1 è questa

Bravo, non ci avevo pensato. Se facciamo traslare i triangoli esterni e li ruotiamo fino ad allinearsi ai lati del triangolo equilatero, possiamo massimizzare l'angolo al vertice. Applicado un po' di trigonometria si ricava questa formula: $\displaystyle 2\sin{\left(\frac{\pi+\alpha}{2}\right)}\tan{...

Decisamente era molto più facile del previsto


$\displaystyle A=\sqrt{3}\tan{\frac{\pi}{30}}=0,18205$

Questa è la miglior soluzione che ho trovato:


L'area di ogni triangolo è 0,141622

Per ora la soluzione migliore che ho trovato è questa (cerchio di diametro 1)


$\displaystyle A=\frac{\sqrt{2}}{4}\sin{\frac{\pi}{6}}\cos{\frac{\pi}{12}}=0,17075$

Il calcolo è abbastanza semplice

Consideriamo un quadrato di lato 1


$\begin{cases}
x + y = \sqrt{2} \\
x=\sqrt{2}y
\end{cases}$

Risolvendo: $y = 2-\sqrt{2}$
y è l'altezza di un triangolo di base 1 la cui area è $\displaystyle A=\frac{y}{2}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}=0,29289$

Per rispondere alla domanda di Gianfranco cominciamo con qualche riflessione. il numero di punti di una griglia n x n aumenta con il quadrato, mentre il numero di punti che una circonferenza può intercettare è molto limitato, anche per raggi molto grandi. Vediamo infatti che per tre punti passa semp...

Ecco una soluzione dentro-dentro

Sì, anche il 6, avevo sbagliato un conto