Per la precisione un triangolo con un angolo retto
si chiama rettangolo !
Leandro

Se non si vogliono fare calcoli si puo' tener conto di quanto segue. a) i numeri della forma (n+1)^{6p+1}-(n^{6p+1}+1) sono divisibili per (n^2+n+1)^2 b) i numeri della forma (n+1)^{6p+5}-(n^{6p+5}+1) sono divisibili per (n^2+n+1) [p= intero non negativo] c)i termini della prima frazione sono entram...

Se il triangolo e' equilatero la relazione e' vera. Supponiamo ora la relazione soddisfatta e dimostriamo che il triangolo e' equilatero. Per Erone la relazione si puo' scrivere anche così: (1) abc=(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) Ora per un triangolo qualunque si ha: a^2\geq a^2-(b-c)^2=(a-b+c)(a+b-c) b^2\ge...

Speravo anch'io che si potesse risolvere la cosa senza passare
per il calcolo delle incognite.Non sembra cosi'.
Grazie.
Leandro

Siano x,y,z tre reali positivi soddisfacenti le condizioni:
$\ x+y+xy=8\\y+z+yz=15\\ z+x+zx=35$
Calcolare $x+y+z+xyz$
Leandro

I polinomi richiesti sono ovviamente del tipo: P(x)=ax^5+bx^3+cx Imponendo il passaggio per il punto di massimo e l'annullamento di P'(-2) si ha il sistema: {80a+12b+c=0\\16a+4b+c-\frac{32}{5}}=0 che risolto rispetto ad a e b fornisce i valori: a=\frac{5c-16}{80},b=\frac{8-3c}{6} Pertanto il fascio ...

n
Leandro

Naturalmente ci sara' pure una soluzione elementare del quesito ma io ne propongo una che,se pure non risponde direttamente alla questione,ne trova le soluzioni con procedimenti di un certo interesse (al di la' del quesito proposto). Si puo' scrivere: 15(x-y)(x+y)+(x-y)=y^2 Da cui: (1) x-y=\frac{y^2...

Lontano da me l'idea di considerare scontato il quesito proposto da Bruno.Anzi e' un problema importantissimo per certi versi ( sebbene a me sembra che per andare da Torino a Milano si finisca col passare per Napoli ! ). Lo dicevo per sminuire la mia soluzione visto che ,proprio perche' nota,l'avevo...

E' un problema che conosco e del resto e' abbastanza noto. Sia AB il segmento che unisce i 2 punti dati e si indichi con X(Y) la circonferenza di centro X e raggio XY (cioe' passante per Y). Si descriva la B(A) ; poi la A(B) che intersechi la B(A) in C al disopra di AB. Poi la C(B) che intersechi la...

Una risoluzione mooolto pedestre. E' chiaro che x ed y non possono avere la stessa parita' e quindi,stante la simmetria della relazione rispetto alle due variabili, suppongo x dispari ed y pari. Osserviamo ora che si puo' anche scrivere cosi': (x+y)^2+2(x^2+y^2)=251 da cui discende che : (x+y)^200<x...

La mia soluzione si avvicina,nelle grandi linee ,a quella di Bruno. Dapprima scriviamo la relazione cosi': x^2-zx-(y^2+2z^2+3yz)=2 Scomponiamo il 1° membro risolvendo rispetto ad x (come se fosse una normale equaz. di 2° grado): x=\frac{z\pm (2y+3z)}{2} Pertanto avremo : (x+y+z)(x-y-2z)=2 Essendo 2=...

Risolvere per valori interi relativi l'equazione:
$x^2-y^2-2z^2=2+xz+3yz$
Spero stiate facendo tutti buonissime vacanze.
Leandro

Ricordiamo alcune formule valide per i triangoli. \sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}} e formule analoghe per gli altri angoli R=\frac{abc}{4S},r=\frac{S}{p} Pertanto si ha: AI \cdot BI \cdot CI=\frac{r}{\sin(\alpha/2)} \cdot \frac{r}{\sin(\beta/2)} \cdot\frac{r}{\sin(\gamma/2)}=\frac{a...

Per completezza pongo a_o=0,a_1=1 .Isolando il radicale ed elevando al quadrato si ottiene che: (1) (a_{n+1})^2+(a_n)^2=4a_na_{n+1}+1 Sostituendo n con (n-1) ho: (2) (a_{n})^2+(a_{n-1})^2=4a_{n-1}a_{n}+1 Sottraendo da (1) la (2) segue che: (a_{n+1})^2-(a_{n-1})^2=4a_n(a_{n+1}-a_{n-1}) e semplificand...