Fenomenale, Franco!
Buon ferragosto!

Questo problema mi sembra tosto,
mi ci metto dopo ferragosto.
Ma la mia fiducia ho riposto
nel fatto che alcuno bendisposto
bene o male abbia già risposto.

Molto interessante! Se immaginiamo un'estensione dei numeri reali (forse sono gli iperreali) in cui esiste un infinitesimo attuale dx minore di qualunque numero reale allora forse potremmo scrivere: 1,\!\overline{9}+ dx = 2 e quindi \alpha=1,\!\overline{9} = 2-dx sarebbe diverso da 2. E quindi avres...

Problema 1. Determinare tutti i numeri reali α tali che, per ogni intero positivo n, il numero intero ⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + ··· + ⌊nα⌋ è un multiplo di n. (Si noti che ⌊z⌋ indica il più grande intero minore o uguale di z. Per esempio, ⌊−π⌋ = −4 e ⌊2⌋ = ⌊2.9⌋ = 2.) --- Nota. E' il problema 1 dell'Internationa...

Cari amici, nella home page ho scritto un breve appunto sull'A.I. che ha raggiunto l'argento all'IMO 2024 (Appunto A24-48). Curiosità riporto qui sotto il problema di geometria che AlphaGeometry 2 avrebbe risolto in 19 secondi. Testo originale in italiano. --- Sia ABC un triangolo con AB < AC < BC. ...

Grazie Quelo.
Notevole python!

Ad esempio con Decimal Basic, ma anche con altri linguaggi di programmazione... Giusto, però il DECIMAL Basic permette di fare qualcosa in più. 1) Se imposti ARI>THMETIC DECIMAL_HIGH è più preciso sul seno di 2pi BASIC_rad.png 2) Se imposti gli angoli in gradi allora non fa quell'errore. BASIC_deg....

Franco e Quelo, grazie, risposte chiarissime.
Praticamente il problema è risolto.
Allora mi rimane il problema con wxMaxima che sbaglia sen(666°) dalla 15esima cifra decimale in avanti, pur impostando bfloat a 16 o più cifre.
Che ci sia lo zampino del diavolo?

Clifford Pickover ogni 8 ore circa ne spara qualcuna sul suo profilo X e ultimamente ha proposto queste uguaglianze.
La metafora, carina, collega il numero diabolico (666) all'opposto della metà del numero aureo (φ).
Le uguaglianze sono vere o quasi vere?
Come dimostrarlo?

Risposta telegrafica, per ora.
Franco e Panurgo, mi avete commosso matematicamente (commozione positiva!).
Bruno, geniale!

$\displaystyle a^2+b^2-c^2+2ab = 2ab$ Per l'appunto l'uguaglianza vale nell'ipotesi che il triangolo sia rettangolo. Dimostrazione bellissima e semplicissima. Parte dalla formula per il calcolo del raggio della circonferenza inscritta in un triangolo generico e la "traferisce" a un triangolo rettan...

Grazie Panurgo, mi piace la tua dimostrazione di unicità.
Grazie Bruno, non conoscevo quella formula, per me è stata una bella sorpresa! Ora però bisogna dimostrarla, anche se l'hanno già dimostrata...

Quelo e Panurgo, grazie per le bellissime risposte! Una usa la geometria analitica e l'altra al trigonometria. --- La mia soluzione è più primitiva: usa la geometria della scuola media per calcolare la misura del raggio del cerchio inscritto nel triangolo. pi_tagora_2.png Con riferimento alla figura...

Dicono che Pitagora non vedesse di buon occhio i numeri irrazionali.
Eppure Pi greco è nascosto nel triangolo rettangolo pitagorico più semplice del mondo.
---
Dimostra che l'area del cerchio inscritto nel triangolo rettangolo di lati 3, 4, 5 è pi greco.

Ce n'è una anche per i cerchi nelle lunette? Prima di tutto ti ringrazio e ti faccio i complimenti per la dimostrazione della formula co pi-greco! Per quel che riguarda la tua domanda, se intendi il cerchio giallo nella figura, la formula per il raggio dovrebbe essere questa, da verificare. Comunqu...