Complimentissimi ad Alessandro e grazie a Giobimbo per l'esplorazione illustrata

Benvenuto, Alessandro

Sì, si capisce la tua idea.

Bravo e bravo soprattutto a Wolfram Alpha 😊 In realtà, il quiz si poteva trattare anche senza il famoso motore computazionale e con un po' di teoria. Tanto per fare un esempio, si può capire che l'equazione scritta qui: La condizione da rispettare è $\displaystyle a^2-6ab+b^2=1$ ha certamente soluzi...

Si possono trovare infinite uguaglianze numeriche come queste: \sqrt[4]{1+ 116\cdot \sqrt{-210}} = \sqrt{35}+\sqrt{-6} \sqrt[4]{1+ 7880\cdot \sqrt{-60639}} = \sqrt{1189}+\sqrt{-204} \sqrt[4]{1+ 5219916\cdot \sqrt{-184030}} = \sqrt{40391}+\sqrt{-6930} \sqrt[4]{1+ 9093512\cdot \sqrt{-80753867670}} = \...

Bing 😶 a seconda del momento. Domanda: Risolvi x^6 congruente a 22 modulo 23 Risposta. Per risolvere la congruenza x^6 ≡ 22 (mod 23), dobbiamo prima trovare una soluzione della congruenza x^2 ≡ 22 (mod 23), usando il criterio di Eulero. Poiché 23 è un numero primo, possiamo applicare il piccolo teo...

😮 Pazzesco. ChatGPT (che non conosco) potrebbe riscrivere la Teoria dei Numeri :lol: Il secondo quesito può essere trattato anche con un famoso teorema: Se un dato numero è uguale alla somma di due quadrati coprimi, allora anche ogni divisore primo di quel numero è esprimibile come somma di due quad...

Ottimo, Sergio
Naturalmente, basta valutare la congruenza x² ≡ 22 (mod 23).

... non ho capito in che senso la seguente è una controprova. È facilissimo, sì, ma trovo carino che qualsiasi quadrato maggiore di 1 offra una controprova. Per esempio così: a = n^6 , b = (2\cdot n+1)^3 . Intendevo rispetto alla richiesta del quiz : con quelle forme, a e b portano sempre l'espress...

... Mi sembra troppo facile oppure non l''ho capito. Basta prendere due numeri interi positivi distinti la cui somma sia un quadrato, elevarli al cubo e metterli sotto le radici cubiche. Per esempio: 5+4=9 5^3=125 4^3=64 \displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{125}+\sqrt[3]{64}}=\sqrt{9}=3 Quindi la risposta ...

Gianfranco ha scritto: ↑

lun mag 01, 2023 10:57 am

...
Però avevo notato che le mie soluzioni si possono scrivere anche così:
$n=2+6k$
$n=4+6k$

...se non sbaglio.

Non sbagli

In altre parole, l'esponente dev'essere pari ma non divisibile per 6.

Gianfranco, direi benissimo ma potresti, se vuoi, scansare l'ingombrante 18 e ridurre il tutto a modulo 6, così trovi che l'esponente è un numero pari non multiplo di 6 e probabilmente la dimostrazione si semplifica

Pierpaolo, non riesco a esserti d'aiuto, ma ti do il benvenuto

Bel lavoro, Maurizio

➀
Se $a$ e $b$ sono interi positivi distinti,
$\sqrt{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$
è sempre irrazionale?

➁
Trovare le soluzioni intere dell'equazione
$x^6-23\cdot y^3+24 = 0.$

➂
Quando
$2^n+3^n+5^n$
è divisibile per $19$ ?

Bellissime esplorazioni :D Si vede subito che: - Per x pari non ci sono soluzioni Questo fatto era già chiaro nell'equazione data: se x fosse pari, z sarebbe dispari e il membro destro risulterebbe divisibile solo per 2 e non per 4 , che invece è un fattore del primo membro. Come ho detto, mi sono l...