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da vittorio
ven mag 04, 2018 6:30 pm
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Argomento: Zukei
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Zukei

A proposito del puzzle di Zukei (molto carino) mi è venuta spontanea una domanda: qual'è il massimo numero di punti che si possono inserire nella griglia 5*5 in modo che comunque se ne scelgano 4 questi non siano vertici di un parallelogrammo? Generalizzando: lo stesso problema per una generica grig...
da vittorio
dom dic 10, 2017 12:03 pm
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Argomento: Tre volte quattro.
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Re: Tre volte quattro.

Accogliendo l'invito di Bruno ho scritto le seguenti note. 1) In primo luogo ho cercato tutti i numeri il cui quadrato termina con 444. Per questo è sufficiente testare tutti i numeri da 1 a 999. Una rapida ricerca ha trovato i numeri 38, 462, 538, 962; per semplicità li ho chiamati primitivi. I num...
da vittorio
gio nov 23, 2017 11:19 am
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Argomento: Tre volte quattro.
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Re: Tre volte quattro.

152297262807038^2 = 23194456258516000111222333444 402297262807038^2 = 161843087662035000111222333444 652297262807038^2 = 425491719065554000111222333444 902297262807038^2 = 814140350469073000111222333444 183029885630462^2 = 33499939033900000111222333444 433029885630462^2 = 187514881849131000111222333...
da vittorio
mer ott 11, 2017 5:54 am
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Argomento: Problema LXXXVIII da "L'Algebra" di Bombelli.
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Re: Problema LXXXVIII da "L'Algebra" di Bombelli.

Per fare in modo che p e q nelle mie formule abbiano lo stesso denominatore è sufficiente sostituire l con -l. Rimuginando sul problema mi è venuto in mente di sostituire la condizione p+q=12 con la condizione p^2+q^2=s^2 con s da determinare. Ho fatto alcuni calcoli (ma non in maniera sistematica) ...
da vittorio
sab ott 07, 2017 5:11 pm
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Argomento: Problema LXXXVIII da "L'Algebra" di Bombelli.
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Re: Problema LXXXVIII da "L'Algebra" di Bombelli.

Scriviamo 1) x\cdot(y+1)=p^2 , 2) y\cdot(x+1)=q^2 . Sottraendo la 1) dalla 2) si ottiene 3) y=x-p^2+q^2 da cui, sostituendo y nella 2) e riducendo, si ricava 4) x^2-x\cdot(p^2-q^2-1)-p^2=0 Le soluzioni della 4) devono essere razionali. Occorre quindi che il discriminante della 4) sia un quadrato per...
da vittorio
gio set 28, 2017 6:51 pm
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Argomento: Quadrati e multipli di otto.
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Re: Quadrati e multipli di otto.

64t^2-32t+3=(8t-2)^2-1=8(8t^2-4t+1)-5 per t intero. Deve infatti essere r^2-1=8s-5 da cui r^2-8s+4=0 che in un piano cartesiano (r,s) rappresenta una parabola. Per tentativi o mediante una rappresentazion grafica si vede che la parabola passa per il punto A(2,1). La generica retta s-1=t(r-2) passa ...
da vittorio
lun set 11, 2017 5:39 pm
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Argomento: Quattro di tre.
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Re: Quattro di tre.

Dato n=r^2+s^2+(r\cdot s/2)^2 , poiché r ed s devono essere pari pongo r=2p ed s=2q ottenendo n=4\cdot p^2+4\cdot q^2 + 4\cdot p^2\cdot q^2 . Quindi scrivo: n=(1^2+1^2+1^2+1^2)\cdot (p^2+q^2+(p\cdot q)^2+0^2) , cioè scrivo n come prodotto di due somme di quattro quadrati ciascuna. Utilizzando l'ugua...
da vittorio
gio ago 31, 2017 6:48 pm
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Argomento: Alla maniera di Diofanto.
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Re: Alla maniera di Diofanto.

Si può scrivere 2x^2-3y^2+5xy = (x+3y)(2x-y) = 1.
Essendo t un parametro reale non nullo, si può porre x+3y=t e 2x-y=1/t.
Risolvendo il sistema si ricava:
x=\frac{t^2+3}{7t}, y=\frac{2t^2-1}{7t}.

Al variare di t si hanno quindi le infinite soluzioni razionali richieste.
Ciao Ciao Vittorio
da vittorio
dom giu 04, 2017 5:45 pm
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Argomento: Alcune sequenze.
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Re: Alcune sequenze.

Prima sequenza. Si tratta di una successione ricorsiva lineare con primo termine S_1=22 , S_2=4\cdot S_1+1 , S_{n+1}=2^n+4\cdot S_n . Quest'ultima si può ridurre a S_{n+2}=6\cdot S_{n+1}-8\cdot S_n . L'equazione caratteristica è t^2=6t-8 che ha radici 4 e 2 da cui la soluzione generale S_n=x\cdot 4^...
da vittorio
mer mar 01, 2017 10:03 am
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Argomento: dai giochi matematici del 2012
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Re: dai giochi matematici del 2012

Un'ultima considerazione. In precedenza ho osservato che 2^{t+3} mod 2012 si ripete ogni 251 passi. Poichè t mod 2012 si ripete ogni 2012 passi e i numeri 251 e 2012 sono primi fra loro ne consegue che M(t) si ripete ogni 251*2012=505012 passi. Vale a dire che M(505012k+t)=M(t) qualunque sia k, o se...
da vittorio
mer mar 01, 2017 9:22 am
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Argomento: dai giochi matematici del 2012
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Re: dai giochi matematici del 2012

Un'ultima considerazione. Nella formula per M(t) il termine 2^{t+3} si ripete ogni 251 volte mentre il termine 3t si ripete ogni 2012 volte. Dato che 251 e 2012 sono primi tra loro allora M(t) si ripeterà ogni 251*2012=505012 volte. Vale a dire che M(t)=M(mod(t,505012)) o se vogliamo che la successi...
da vittorio
mar feb 28, 2017 8:01 pm
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Argomento: dai giochi matematici del 2012
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Re: dai giochi matematici del 2012

Come prima cosa desidero scusarmi per lo stupido errore commesso. Ho poi visto che Pasquale ha calcolato M(12000000) e M(36000000) ed ho pensato di calcolarli a mia volta a mano utilizzando la formula (ed eventualmente una buona calcolatrice). In primo luogo ho determinato che 2^{251k+h} e 2^h hanno...
da vittorio
lun feb 27, 2017 7:47 pm
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Argomento: dai giochi matematici del 2012
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Re: dai giochi matematici del 2012

Si può usare la formuletta M(t)=(2^{t+2}-3t-12) mod 2012 valida per ogni t>0. Per t=2012 si ottiene M(2012)=116. Per ottenere la formula si consideri la successione ricorrente M(t+3)=4M(t+2)-5M(t+1)+2M(t) con M(1)=1 M(2)=14 M(3)=43 e la si risolva con i metodi tradizionali. Ponendo M(t)=x^2 si ha x^...
da vittorio
dom ott 23, 2016 10:07 am
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Argomento: Un quesito banale.
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Re: Un quesito banale.

Data la generica equazione di secondo grado ax^2+bx+c=0 , con a\neq 0 , sappiamo che la somma delle radici x1 e x2 è data da -b/a mentre il loro prodotto è dato da c/a. Nel caso presente essendo a=1 e le radici una l'inversa dell'altra, dovrà anche essere 7-2k=1 da cui k=3. L'equazione diventa x^2+1...
da vittorio
ven ott 07, 2016 10:22 am
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Argomento: Numeri e dadi.
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Re: Numeri e dadi.

Ho fatto alcune ulteriori considerazioni. a) nel gioco vengono usati solo dadi "standard", nei quali la somma dei numeri su due facce opposte è sempre 7. In caso contrario il gioco non avrebbe senso. b) la parola "istante" è molto relativa dipendendo dall'abilità di ciascuna persona ad eseguire calc...