Se non lo trovate ... " non " ve lo dico io

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Se non lo trovate ... " non " ve lo dico io

Messaggioda ronfo » sab feb 11, 2017 11:50 am

Saluto tutti gli amici del forum.
Come ogni tanto mi capita mi sono assentato per un po'
Ciò è dovuto al fatto che sono riuscito a fare parecchi pasticci con la mia posta elettronica
e siccome non voglio mettere in rete dati sensitivi (leggi numero carta d'identità) sono stato costretto a cambiare provaider (in realtà ne avevo già uno di scorta).
Comunque " tirem inanz "
Il titolo del post è quello di una rubrica de " la settimana enigmistica " con il "non" in più
Visto che nel forum si parla spesso di quadrati vi voglio postare il seguente quesito tratto appunto dal suddetto settimanale

Il quadrato di 13 è 169
se si prende l'ultima cifra e la si sposta al centro, si ottiene 196, che è il quadrato di 14.
Qual'è il numero successivo il cui quadrato ha le stesse caratteristiche ?

I più curiosi possono trovare la risposta nel numero de la S.E. 4429
ma la vera domanda è un'altra
esiste un metodo per trovare questi numeri
(più difficile) se si sono infiniti come i numeri primi
Felice giornata a tutti.
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Re: Se non lo trovate ... " non " ve lo dico io

Messaggioda Pasquale » sab feb 11, 2017 5:11 pm

Forse bisognerebbe specificare meglio la manovra da effettuare, che non è chiara quando le cifre del numero iniziale superano le 3 unità.
Infatti, posto che il quesito si riferisce ai soli numeri con una quantità dispari di cifre, possiamo avere le seguenti 2 diverse situazioni, secondo l'interpretazione che si può dare allo " spostamento al centro" dell'ultima cifra:

Numero iniziale : 12345 (a solo titolo d'esempio)
Dopo lo spostamento al centro dell'ultima cifra: 12 5 34 oppure 12 5 43
nel primo caso 34 sono slittati a destra per fare spazio al 5
nel secondo caso il 3 prende il posto del 5

In sostanza, il 5 prende il posto del 3, ma prima tolgo il 3, che si scambia col 5, oppure il 3 dà una spinta al 4 per far posto al 5 ?

Approfondendo sui numeri a 5 cifre:

24649=157^2 viene modificato in 24964=158^2 (slittamento)
Scambiando estremo con centrale non vien fuori nulla e dunque direi di dare la preferenza alla modalità "slittamento"

Peraltro il caso riportato a 5 cifre è l'unico possibile, nel senso che non se ne trovano altri lavorandoci con il p.c.
Fra questo caso da 5 ed il caso da 3 di cui all'esempio, anch'esso unico nell'ambito delle 3 cifre, notiamo che
Il numero iniziale e quello derivante dalla modifica sono quadrati di numeri che differiscono fra loro di una sola unità!!!!
Questa concomitanza giustificherebbe al momento il sospetto che la cosa possa ripetersi nei numeri con più cifre, per vedere se si può poi indirizzare lo studio su vie diverse dal semplice uso del p.c.
Intanto per curiosità, vado a vedere ancora col p.c. cosa accade con numeri a 7 cifre, 9, 11, 13 e finché posso, tanto per vedere cosa accade.
Ultima modifica di Pasquale il dom feb 12, 2017 3:14 am, modificato 1 volta in totale.
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Re: Se non lo trovate ... " non " ve lo dico io

Messaggioda ronfo » sab feb 11, 2017 10:21 pm

Ciao Pasquale
la soluzione che hai trovato 157 al quadrato è esatta e la manovra da effettuare è
proprio quella di spostare l'ultima cifra al centro .
Ora il problema è ci sono altri numeri che hanno questa caratteristica ?
Buon proseguimento !
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Re: Se non lo trovate ... " non " ve lo dico io

Messaggioda Pasquale » dom feb 12, 2017 12:23 am

Sinceramente al momento l'impresa mi sembra ardua, se non trovo una strategia adeguata che possa condurre alla risposta cercata.
Dopo qualche tentativo, mi son reso conto che la ricerca "stupida" non porta lontano. L'elaborazione al computer diviene ben presto lenta e poco produttiva.
Già nell'ambito dei numeri a 7 cifre, non si trova alcuna coppia di quadrati costruiti con la manovra descritta e mi viene il dubbio che tutto si concluda nell'ambito delle 5 cifre.
Vagamente mi viene da considerare che se fra un quadrato ed il successivo, ovvero fra n^2 ed (n+1)^2, la differenza è pari a 2n+1, questa cresce sempre più con il crescere della lunghezza dei numeri, per cui proiettando la crescita all'infinito, viene da pensare che in tendenza non ci siano più quadrati con le caratteristiche richieste confrontabili fra loro, o che comunque la probabilità che si verifichi quanto osservato con gli spostamenti di cui sopra divenga sempre più vicina allo zero.
E' una deduzione a livello intuitivo e non saprei mettere giù qualcosa di più concreto.

Intanto mi tocca aggiungere che avevo appena terminato di scrivere quanto sopra, quando improvvisamente il computer, che stava confrontando quadrati a 9 cifre, mi evidenziava quanto segue:

108430569 = 10413^2
108493056 = 10416^2

Questo mi fa aggiustare il tiro a livello intuitivo: col crescere della lunghezza dei numeri, è vero che la distanza fra quadrati successivi cresce e che dunque cresce ancor di più la distanza fra quadrati non successivi, ma questo può anche significare che proiettando la nostra operazione all'infinito su numeri di lunghezza infinita, i due quadrati che ci interessano possono continuare ad esistere magari ad una distanza infinita fra le basi (così modificato).
Diciamo che se fra numeri a 3 e 5 cifre si sono trovati quadrati validi di numeri successivi e nulla fra i quadrati a 7 cifre, mentre ancora quadrati validi fra i numeri a 9 cifre, derivati però da numeri più distanti , ovvero non più successivi, questo fa pensare ad un diradarsi di quanto cercato nel procedere oltre.
Resta da cercare possibilmente una formula matematica che dia una risposta certa e precisa.

Ancora più tardi il p.c. ha trovato nulla per i quadrati ad 11 cifre, finché:

1977530625009 = 1406247^2
1977539062500 = 1406250^2

A questo punto i tempi si allungano e mi fermo qui, considerata l'ipotesi di cui sopra, secondo cui è sempre possibile trovare una coppia di quadrati con le caratteristiche descritte inizialmente. Come fare per trovarle è tutto da vedere. Chissà, una progressione?
Ultima modifica di Pasquale il lun feb 13, 2017 5:08 pm, modificato 1 volta in totale.
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Re: Se non lo trovate ... " non " ve lo dico io

Messaggioda ronfo » dom feb 12, 2017 11:34 am

Grazie Pasquale per la tua puntuale ed attenta analisi .
probabilmente quanto sopra riportato dalla settimana enigmistica è solo una curiosità
matematica e nulla più
Comunque anche queste curiosità stimolano la ricerca che comunque è sempre fruttuosa
Buona domenica
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Re: Se non lo trovate ... " non " ve lo dico io

Messaggioda Bruno » lun feb 13, 2017 9:14 am

Formidabile Pasquale :D

(Hai un messaggio privato.)

Aggiungo un'ulteriore curiosità. Si trova facilmente anche un quadrato in cui si verifica
il contrario, cioè spostando alla fine la sua cifra centrale si ottiene il quadrato successivo:
27778² = 771617284, 27779² = 771672841.
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Re: Se non lo trovate ... " non " ve lo dico io

Messaggioda Pasquale » lun feb 13, 2017 7:19 pm

Eh, certo che i numeri ne combinano di tutti i colori. Se spostiamo invece il centrale all'estremo sinistro? Pare che la manovra risulti più gradita:

16384 = 128^2
31684 = 178^2

25600 = 160^2
62500 = 250^2

36481 = 191^2
43681 = 209^2

50625 = 225^2
65025 = 255^2


1755625 = 1325^2
5175625 = 2275^2

1863225 = 1365^2
3186225 = 1785^2

9859600 = 3140^2
9985600 = 3160^2

109725625 = 10475^2
210975625 = 14525^2

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Re: Se non lo trovate ... " non " ve lo dico io

Messaggioda Quelo » mar mar 13, 2018 10:33 pm

Aggiornamento:

13 169 196 14
14 196 169 13
157 24649 24964 158
10413 108430569 108493056 10416
27779 771672841 771617284 27778
1406247 1977530625009 1977539062500 1406250
11384563 129608274700969 129608297470096 11384564

Nessun risultato trovato per 17 e 19 cifre
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