Scambiando i numeri sul quadrante ...

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Scambiando i numeri sul quadrante ...

Messaggio da franco » mer giu 15, 2016 1:48 pm

Q1.gif
Scambiando a due a due i numeri (da 1 a 12) sul quadrante dell'orologio ridisponeteli in modo che ogni coppia adiacente abbia la somma pari a un numero primo.
Qual è il numero minimo di scambi necessario?

ciao
Franco

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Re: Scambiando i numeri sul quadrante ...

Messaggio da Info » mer giu 15, 2016 9:53 pm

basta uno scambio... l'8 con il 10, ed e`tutto a posto :-)
Allegati
Clock.JPG
tutte le coppie hanno una somma che e`un numero primo
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Re: Scambiando i numeri sul quadrante ...

Messaggio da franco » mer giu 15, 2016 10:07 pm

Info ha scritto:basta uno scambio... l'8 con il 10, ed e`tutto a posto :-)
Uhm...

Direi che 4 e 5 restano adiacenti e sommano 9 che non è primo :twisted:


ciao
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Re: Scambiando i numeri sul quadrante ...

Messaggio da Info » mer giu 15, 2016 10:19 pm

Sorry..... invertire 1 e 5 porta ad una possibile soluzione :-)
sono in totale 2 scambi
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panurgo
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Re: Scambiando i numeri sul quadrante ...

Messaggio da panurgo » mer giu 15, 2016 10:59 pm

Ecco un esempio con quattro scambi

$\begin{array}{Cc}
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 \\\\
\downarrow \left(5 \leftrightarrow 7 \right) \\\\
1,2,3,4,7,6,5,8,9,10,11,12 \\\\
\downarrow \left(8 \leftrightarrow 12 \right) \\\\
1,2,3,4,7,6,5,12,9,10,11,8 \\\\
\downarrow \left(9 \leftrightarrow 11 \right) \\\\
1,2,3,4,7,6,5,12,11,10,9,8 \\\\
\downarrow \left(8 \leftrightarrow 10 \right) \\\\
1,2,3,4,7,6,5,12,11,8,9,10
\end{array}$

si verifica facilmente che

$\begin{array}{|CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC|ccc}
\hline
1 & + & 2 & + & 3 & + & 4 & + & 7 & + & 6 & + & 5 & + & 12 & + & 11 & + & 8 & + & 9 & + & 10 & + & 1 \\\\
& 3 & & 5 & & 7 & & 11 & & 13 & & 11 & & 17 & & 23 & & 19 & & 17 & & 19 & & 11 & \\
\hline
\end{array}$

Ho trovato (via computer) 1024 soluzioni distinte: non ho molta voglia di controllarle tutte.
il panurgo

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Re: Scambiando i numeri sul quadrante ...

Messaggio da franco » gio giu 16, 2016 7:00 am

Info ha scritto:Sorry..... invertire 1 e 5 porta ad una possibile soluzione :-)
sono in totale 2 scambi
OK, con due scambi ci si riesce e la soluzione non è nemmeno unica.
Io avevo trovato questa (grazie a Guido per l'idea di come sistemarla graficamente):
Q11.jpg
Questo però era solo il riscaldamento :)

Come la mettiamo con quest'altro quadrante dove i numeri sono dall'1 al 24?
Q2.gif
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Pasquale
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Re: Scambiando i numeri sul quadrante ...

Messaggio da Pasquale » ven giu 17, 2016 2:40 am

Sull'orologio da 12, due scambi sono obbligatori e vanno bene ad esempio anche gli scambi 4/8 e 1/11.
L'orologio da 24 mi sa che non si può fare, se non forse con molti scambi, ma non credo o comunque finora non ho saputo risolverlo.

Tuttavia, un orologio da 22 mi è riuscito di sistemarlo con i soli scambi 4/8, 11/19, 12/18, 14/16, che conducono alla seguente situazione:

1--2--3--8--5--6--7--4--9--10--19--18--13--16--15--14--17--12--11--20--21--22--1
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Re: Scambiando i numeri sul quadrante ...

Messaggio da Gianfranco » ven giu 17, 2016 8:40 pm

Pasquale, una soluzione da 24 si ricava facilmente dalla tua per 22. Basta aggiungere opportunamente i numeri 23 e 24.
1--2--3--8--5--6--7--4--9--10--19--18--13--16--15--14--17--12--11--20--21--22--1
1--2--3--8--5--6--23--24--7--4--9--10--19--18--13--16--15--14--17--12--11--20--21--22--1
Infatti:
6+23=29 primo
23+24=47 primo
24+7=31 primo

Bel problema.
L'ho trasformato in una versione quasi equivalente ma per me più interessante:
"Data la sequenza dei numeri naturali da 1 a n, quante delle sue permutazioni circolari sono tali che la somma di ogni coppia di numeri successivi sia un numero primo?"
Per n dispari, probabilmente la soluzione è sempre 0.
Per n pari, ci sono sempre soluzioni?
E se ci sono, formano a loro volta una sequenza di qualche interesse?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Scambiando i numeri sul quadrante ...

Messaggio da franco » ven giu 17, 2016 9:45 pm

Gianfranco ha scritto:L'ho trasformato in una versione quasi equivalente ma per me più interessante:
...
Allora a questo punto metto subito gli altri due quesiti che avevo pronti:

3. Ripetere l'esercizio con i numeri dei minuti anziché quelli delle le ore (numeri da 1 a 60)
Q3.gif
4. Esiste un metodo che permetta di posizionare i primi n interi (con n pari) su un quadrante circolare in maniera tale che tutte le coppie adiacenti abbiano per somma un numero primo?


Questo problema è il casse-tete del mese di giugno su diophante.fr
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Re: Scambiando i numeri sul quadrante ...

Messaggio da Gianfranco » ven giu 17, 2016 9:53 pm

Aggiunta notturna.
Anch'io ho fatto un programmino tipo quello citato da Panurgo.
Riporto qualche risultato.
Numero di soluzioni in funzione di n.
n ... num.sol.
2 ... 1
3 ... 0
4 ... 2
5 ... 0
6 ... 2
7 ... 0
8 ... 4
9 ... 0
10 ... 96
11 ... 0
12 ... 1024

Pe n>12 i tempi di calcolo diventano troppo lunghi (con il mio programmino).
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Scambiando i numeri sul quadrante ...

Messaggio da Pasquale » ven giu 17, 2016 11:07 pm

OK, oggi sono stato al mare rimuginando sulla questione e stasera mi sono messo all'opera con l'idea che non bisogna mai demordere, trovando una soluzione a mano per orologio da 24, che posto pur avendo trovato il quesito già risolto.
Dunque, con gli scambi 1/5, 8/10, 13/17 e 20/22 si ottiene:

5--2--3--4--1--6--7--10--9--8--11--12--17--14--15--16--13--18--19--22--21--20--23--24--5

Passo quindi allo studio dell'orologio da 60.
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Re: Scambiando i numeri sul quadrante ...

Messaggio da Info » sab giu 18, 2016 10:26 am

che dire Pasquale.... la tua e`certamente migliore di quella di Gianfranco, aggiungendo 24 e 23 sicuramente aumenta il numero di scambi rispetto ai 4 iniziali :-)

tu hai risolto con soli 4 scambi
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Re: Scambiando i numeri sul quadrante ...

Messaggio da Pasquale » dom giu 19, 2016 12:53 am

Si, ma per quanto riguarda l'orologio da 60, non è stato tanto semplice.
Segue una soluzione senz'altro migliorabile, fatta sempre a mano, salvo una piccola routine per generare un foglio di appunti su cui lavorare, tenuto conto del fatto che la modifica della sequenza iniziale deve rispettare l'alternanza di numeri pari e dispari.
Ho quindi generato una tabella di tutti i numeri pari fra 2 e 60 ai quali abbinare per lo studio, fra i numeri dispari compresi nell'intervallo 1/59, solo quelli la cui somma desse come risultato un numero primo.

Gli scambi effettuati: 1/17 - 5/7 - 11/19 - 12/24 - 14/28 - 17/29 - 23/49 - 25/47 - 27/45 - 32/40 - 34/38 - 43/59 - 51/57 - 53/55

La sequenza modificata dagli scambi:

29-2-3-4-7-6-5-8-9-10-19-24-13-28-15-16-1-18-11-20-21-22-49-12-47-26-45-14-17-30-31-40-33-38-35-36-37-34-39-32-41-42-59-44-27-46-25-48-23-50-57-52-55-54-53-56-51-58-43-60-29

Aggiungo per chi voglia tentare un miglioramento la tabella utilizzata, con l'aggiunta nel riquadro superiore destro dei numeri primi che interessano (è possibile copiare l'immagine in un documento Word orizzontale e poi ingrandirla):
Tabella.JPG
La suddetta tabella credo sia sufficiente per rispondere al quesito n.4 postato da Franco, che non riguarda più lo scambio di numeri.
Infatti, guardando i numeri contenuti nella tabella si può procedere ad esempio così:

parto col 60 ed aggiungo subito il 53, perché 60+53=113 (primo)
cerco quindi a quale altro numero pari si può accoppiare il 53 e trovo subito che esiste un 53 fra i numeri accoppiabili al 56
vedo quindi che fra i numeri accoppiabili al 56 c'è anche un 57 non ancora utilizzato
vado a cercare quale altro numero pari si accoppia al 57 e trovo il 52
al 52 può seguire il 55 e vado allora a cercare un altro numero pari accoppiabile al 55; trovo il 54......e così via

Certo che se n è troppo grande, allora è una faticaccia; probabilmente il sito francese vuole riferirsi ad un criterio diverso....magari qualche formula o routine generalizzabile che semplifichi il procedimento; la mia proposta si riferisce al vecchio e famoso, pur se limitato, :mrgreen: "metodo a mano".
Ad ogni modo penso che si possa generare una routine che faccia la ricerca sulla tabella, generando una sequenza valida in breve tempo, seguendo il criterio sopra accennato.
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Re: Scambiando i numeri sul quadrante ...

Messaggio da Gianfranco » dom giu 19, 2016 9:19 pm

Franco ha scritto:
4. Esiste un metodo che permetta di posizionare i primi n interi (con n pari) su un quadrante circolare in maniera tale che tutte le coppie adiacenti abbiano per somma un numero primo?
Attenzione: ho apportato alcune correzioni segnalate in rosso, in seguito a un'osservazione di Pasquale.

Ho messo assieme un metodo simile a quello per risolvere i problemi del tipo "Ponti di Konisberg", con i grafi di divisibilità (che non hanno niente a che fare l'uno con l'altro).
Telegraficamente, il metodo sarebbe questo.
Faccio un esempio molto semplice per n=8.
a) Scrivo i numeri in cerchio e collego con una linea le coppie di numeri la cui somma è un numero primo.
grafo_primi1.png
I collegamenti formano un grafo.
b) Per risolvere il problema devo trovare una linea che parta da un numero e tocchi tutti gli altri numeri una volta sola etc. ritornando al numero di partenza.
Il grafo in questione si può risolvere e la linea può partire da qualunque numero (deve partire dal numero 7 o dal numero 8 (nodi di ordine pari)). I numeri 7 e 8 sono "critici" perché hanno soltanto due collegamenti.
Ecco una soluzione.
grafo_primi2.png
Tale metodo si generalizza a qualunque n.
Abbiamo già visto che il problema non ha soluzione per n dispari.

Ora c'è una bella domanda (anzi due): il problema è risolvibile per ogni numero pari? E quante soluzioni ha?
Pace e bene a tutti.
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Re: Scambiando i numeri sul quadrante ...

Messaggio da Pasquale » lun giu 20, 2016 1:58 am

Bene Gianfranco, la rappresentazione grafica ridotta, cioè con n piccolo, consente di comprendere bene la problematica, che meglio ancora si comprende per n=4 ed n=6.
Tuttavia devo osservare che se una soluzione c'è, vuol dire che esiste un percorso che, per quanto complesso, topologicamente altro non è che un anello; per cui lungo tale percorso è sempre possibile partire da qualsiasi numero e ritornare sullo stesso.
Ad esempio, seguendo il percorso tracciato nel grafo da 8 numeri, posso benissimo partire da 3 verso 2, o da 3 verso 8, e proseguire sino al ritorno sul 3 (così dicasi per qualsiasi altro numero che si incontra lungo il percorso)
In definitiva, possiamo affermare che dato un n è sufficiente trovare un solo anello per dare soluzione al problema, con partenza da qualsiasi numero lungo quel dato percorso; l'unica difficoltà consiste nel trovare tale percorso e se poi ce n'è più d'uno, tanto meglio.
Quando n cresce, aumentano le difficoltà nel trovare una sequenza valida e mi sa che l'approccio grafico diviene complicato da applicare; dunque bisogna trovare qualcosa d'altro, che certamente esiste, perché sennò quelli del sito francese non avrebbero proposto il quesito.
Ad ogni modo, il tuo grafo mi è stato utile per capire di più. Quando sono andato alla ricerca delle soluzioni precedenti (lo scambio nelle coppie di numeri non cambia i termini del problema più generale), ho dovuto un po' faticare per trovare i percorsi risolutivi e mi sono aiutato con la tabella di cui sopra, sviluppata solo rispetto ai numeri pari, perché mi faceva comodo così; però è sempre possibile costruire una tabella completa per tutti gli n numeri, la quale per un n piccolo aiuta anche nella costruzione di un grafo.
Inoltre una tabella può risultare utile per impostare una routine di ricerca del percorso, purché n non cresca più di un tot; ecco perché penso che debba esserci qualche altra soluzione.............
Ultima modifica di Pasquale il lun giu 20, 2016 8:14 am, modificato 3 volte in totale.
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