Ritorno... al sistema

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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karl
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Ritorno... al sistema

Messaggio da karl »

Risolvere il sistema:
{x+y+z=7
x^2+y^2+z^2=27
x^3+y^3+z^3=103
karl

Sancho Panza
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Messaggio da Sancho Panza »

\left( {3,  2 - \sqrt 5 ,  2 + \sqrt 5 } \right)

Br1
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Messaggio da Br1 »

La prima idea che mi è venuta in mente mi ha portato
a cercare un polinomio di terzo grado attraverso le
cosiddette formule di Viète.

Sappiamo che:

(x+y+z)² = x²+y²+z²+2(xy+yz+zx) = 49 = 27+2(xy+yz+zx)

da cui otteniamo:

xy+yz+zx = 11.

Ora, poiché:

x³+y³+z³ = 103 = 27·7-86 = (x²+y²+z²)(x+y+z)-86 = x³+y³+z³+xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)-86

troviamo:

xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) = 86 = xy(7-z)+yz(7-x)+zx(7-y) = 7(xy+yz+zx)-3xyz

e infine:

xyz = -3.

Siamo quindi passati dal sistema dato al seguente:

x+y+z = 7
xy+yz+zx = 11
xyz = -3

il quale è formato dalle formule che mettono in relazione
le radici di un'equazione cubica del tipo:

aw³+bw²+cw+d = 0

con i propri coefficienti.

Considerando il coefficiente a=1, possiamo pertanto
ricondurci all'equazione:

w^{\small 3}-7w^{\small 2}+11w+3 = 0

di cui i nostri x, y e z sono appunto le radici.

Poiché si vede subito che per w=3 tale equazione si
annulla, si ricava facilmente questa prima fattorizzazione:

w^{\small 3}-7w^{\small 2}+11w+3 = (w-3)(w^{\small 2}-4w-1)

e finalmente, risolvendo la quadratica:

w^{\small 3}-7w^{\small 2}+11w+3 = (w-3)[w-(2-\sqr{5})][w-(2+\sqr{5})].

Per cui confermo il risultato ottenuto da Sancho :wink:
Bruno

Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Si, sono 6 soluzioni simmetriche.
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

karl
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Messaggio da karl »

Grande Br1 !!
Soluzione perfetta .
A risentirci.
karl

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