Salve a tutti, veramente interessante questo forum, ultradidattico!
A tal proposito l'altro giorno in classe, in una delle nostre divagazioni pierrefermatiane (eh eh, non si vive di solo Laplace...):
A) uno studente si è sbilanciato nel dire che la relazione :
$\large\frac{x^2+3x+6}{x^3+7x^2+5x+1}=\frac{1}{N}$
ove x ed N sono naturali, non ammette soluzioni. Tale affermazione è corretta ? Se sì, lo possiamo dimostrare?
B) Si può stabilire quale sia il valore massimo di x (sempre naturale) tale che riduca il primo membro ad una
frazione irriducibile la cui somma fra numeratore e denominatore risulti minore di 1000000 ?
Relazione polinomiale
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Re: Relazione polinomiale
La relazione può essere scritta anche:
$N = \frac{x^3+7x^2+5x+1}{x^2+3x+6} = \frac{(x^2+3x+6)(x+4)-(13x+23)}{x^2+3x+6}=(x+4)-\frac{13x+23}{x^2+3x+6}$
Affinché la relazione sia sempre vera, occorrerebbe che l'ultima frazione fosse sempre un intero minore di x+4, il che non è vero, essendo sufficiente attribuire un solo qualsiasi valore alla x che lo confermi (es: 1).
Dunque ha ragione lo studente.
$N = \frac{x^3+7x^2+5x+1}{x^2+3x+6} = \frac{(x^2+3x+6)(x+4)-(13x+23)}{x^2+3x+6}=(x+4)-\frac{13x+23}{x^2+3x+6}$
Affinché la relazione sia sempre vera, occorrerebbe che l'ultima frazione fosse sempre un intero minore di x+4, il che non è vero, essendo sufficiente attribuire un solo qualsiasi valore alla x che lo confermi (es: 1).
Dunque ha ragione lo studente.
_________________
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Re: Relazione polinomiale
Diciamo che per essere $N$ intero deve esserloPasquale ha scritto:La relazione può essere scritta anche:
$N = \frac{x^3+7x^2+5x+1}{x^2+3x+6} = \frac{(x^2+3x+6)(x+4)-(13x+23)}{x^2+3x+6}=(x+4)-\frac{13x+23}{x^2+3x+6}$
Affinché la relazione sia sempre vera, occorrerebbe che l'ultima frazione fosse sempre un intero minore di x+4, il che non è vero, essendo sufficiente attribuire un solo qualsiasi valore alla x che lo confermi (es: 1).
Dunque ha ragione lo studente.
$\displaystyle \frac{13x+23}{x^2+3x+6}$
quindi deve essere come minimo
$\displaystyle 13x+23\geq x^2+3x+6$
ovvero
$\displaystyle x^2 - 10x -17 \leq 0$
Le soluzioni dell'equazione sono $x_{1,2} = 5 \pm \sqrt{42}$ per cui deve essere
$\displaystyle 0 \leq x \leq 5 + \sqrt{42} < 12$
Si verifica con facilità che $\frac{13x+23}{x^2+3x+6}$ non è intero con $x$ in tale intervallo
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Re: Relazione polinomiale
Per quanto concerne il quesito B), si trova che x=96 è il massimo consentito.
Per detto valore, abbiamo la frazione $\frac {9510}{949729}$, in cui la somma di numeratore e denominatore vale 959.239<1.000.000.
Si noti che la frazione è irriducibile, come richiesto, essendo numeratore e denominatore primi fra loro.
Considerazioni sulla ricerca del massimo x:
1) per ogni x, il numeratore è di parecchio più piccolo del denominatore, per cui quest’ultimo è quello che nella somma contribuisce di più ad avvicinarsi al milione.
2) ai fini dell'irriducibilità, si nota che il numeratore è sempre pari, mentre il denominatore è pari per x dispari e dispari per x pari; dunque un x dispari comporta certamente una pur minima riduzione della frazione, che riduce l’avvicinamento al milione, mentre è più probabile una primalità fra numeratore e denominatore se uno di questi è dispari, cioè se è dispari il denominatore, visto che il numeratore è sempre pari.
3) Si trova che per x=98, il milione viene superato, mentre con x=96, che genera una primalità fra le due componenti della frazione, si resta nei limiti voluti
Tali considerazioni hanno ristretto il campo di ricerca a pochi calcoli mirati.
Per detto valore, abbiamo la frazione $\frac {9510}{949729}$, in cui la somma di numeratore e denominatore vale 959.239<1.000.000.
Si noti che la frazione è irriducibile, come richiesto, essendo numeratore e denominatore primi fra loro.
Considerazioni sulla ricerca del massimo x:
1) per ogni x, il numeratore è di parecchio più piccolo del denominatore, per cui quest’ultimo è quello che nella somma contribuisce di più ad avvicinarsi al milione.
2) ai fini dell'irriducibilità, si nota che il numeratore è sempre pari, mentre il denominatore è pari per x dispari e dispari per x pari; dunque un x dispari comporta certamente una pur minima riduzione della frazione, che riduce l’avvicinamento al milione, mentre è più probabile una primalità fra numeratore e denominatore se uno di questi è dispari, cioè se è dispari il denominatore, visto che il numeratore è sempre pari.
3) Si trova che per x=98, il milione viene superato, mentre con x=96, che genera una primalità fra le due componenti della frazione, si resta nei limiti voluti
Tali considerazioni hanno ristretto il campo di ricerca a pochi calcoli mirati.
_________________
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)