Relazione polinomiale

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
sTella_ikoNa
Livello 2
Livello 2
Messaggi: 27
Iscritto il: ven nov 29, 2013 9:42 am

Relazione polinomiale

Messaggio da sTella_ikoNa » ven nov 29, 2013 10:54 am

Salve a tutti, veramente interessante questo forum, ultradidattico!

A tal proposito l'altro giorno in classe, in una delle nostre divagazioni pierrefermatiane (eh eh, non si vive di solo Laplace...):

A) uno studente si è sbilanciato nel dire che la relazione :


\large\frac{x^2+3x+6}{x^3+7x^2+5x+1}=\frac{1}{N}


ove x ed N sono naturali, non ammette soluzioni. Tale affermazione è corretta ? Se sì, lo possiamo dimostrare?

B) Si può stabilire quale sia il valore massimo di x (sempre naturale) tale che riduca il primo membro ad una
frazione irriducibile la cui somma fra numeratore e denominatore risulti minore di 1000000 ?

Pasquale
Livello 11
Livello 11
Messaggi: 2330
Iscritto il: mer mag 25, 2005 1:14 am

Re: Relazione polinomiale

Messaggio da Pasquale » mer giu 01, 2016 1:09 am

La relazione può essere scritta anche:

N = \frac{x^3+7x^2+5x+1}{x^2+3x+6} = \frac{(x^2+3x+6)(x+4)-(13x+23)}{x^2+3x+6}=(x+4)-\frac{13x+23}{x^2+3x+6}

Affinché la relazione sia sempre vera, occorrerebbe che l'ultima frazione fosse sempre un intero minore di x+4, il che non è vero, essendo sufficiente attribuire un solo qualsiasi valore alla x che lo confermi (es: 1).
Dunque ha ragione lo studente.
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

panurgo
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1162
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Re: Relazione polinomiale

Messaggio da panurgo » mer giu 01, 2016 4:52 pm

Pasquale ha scritto:La relazione può essere scritta anche:

N = \frac{x^3+7x^2+5x+1}{x^2+3x+6} = \frac{(x^2+3x+6)(x+4)-(13x+23)}{x^2+3x+6}=(x+4)-\frac{13x+23}{x^2+3x+6}

Affinché la relazione sia sempre vera, occorrerebbe che l'ultima frazione fosse sempre un intero minore di x+4, il che non è vero, essendo sufficiente attribuire un solo qualsiasi valore alla x che lo confermi (es: 1).
Dunque ha ragione lo studente.
Diciamo che per essere $N$ intero deve esserlo

$\displaystyle \frac{13x+23}{x^2+3x+6}$

quindi deve essere come minimo

$\displaystyle 13x+23\geq x^2+3x+6$

ovvero

$\displaystyle x^2 - 10x -17 \leq 0$

Le soluzioni dell'equazione sono $x_{1,2} = 5 \pm \sqrt{42}$ per cui deve essere

$\displaystyle 0 \leq x \leq 5 + \sqrt{42} < 12$

Si verifica con facilità che $\frac{13x+23}{x^2+3x+6}$ non è intero con $x$ in tale intervallo
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Pasquale
Livello 11
Livello 11
Messaggi: 2330
Iscritto il: mer mag 25, 2005 1:14 am

Re: Relazione polinomiale

Messaggio da Pasquale » mer giu 01, 2016 11:20 pm

Per quanto concerne il quesito B), si trova che x=96 è il massimo consentito.
Per detto valore, abbiamo la frazione \frac {9510}{949729}, in cui la somma di numeratore e denominatore vale 959.239<1.000.000.
Si noti che la frazione è irriducibile, come richiesto, essendo numeratore e denominatore primi fra loro.

Considerazioni sulla ricerca del massimo x:

1) per ogni x, il numeratore è di parecchio più piccolo del denominatore, per cui quest’ultimo è quello che nella somma contribuisce di più ad avvicinarsi al milione.

2) ai fini dell'irriducibilità, si nota che il numeratore è sempre pari, mentre il denominatore è pari per x dispari e dispari per x pari; dunque un x dispari comporta certamente una pur minima riduzione della frazione, che riduce l’avvicinamento al milione, mentre è più probabile una primalità fra numeratore e denominatore se uno di questi è dispari, cioè se è dispari il denominatore, visto che il numeratore è sempre pari.

3) Si trova che per x=98, il milione viene superato, mentre con x=96, che genera una primalità fra le due componenti della frazione, si resta nei limiti voluti

Tali considerazioni hanno ristretto il campo di ricerca a pochi calcoli mirati.
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Rispondi