radici in progressione

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Pasquale
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radici in progressione

Messaggio da Pasquale » dom gen 22, 2006 1:16 am

Determinare tutti i numeri reali m, tali che l'equazione

x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0

abbia 4 radici reali in progressione aritmetica
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mathmum
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Messaggio da mathmum » dom gen 22, 2006 3:05 pm

Sia P(x) il primo membro e sia a una soluzione.
Allora P(a)=0, ma per la parità delle potenze del polinomio anche P(-a)=0, dunque anche -a è soluzione.
Poichè le soluzioni formano una progressione aritmetica, queste dovranno essere a,-a,3a,-3a.
Il polinomio è quindi fattorizzabile nella forma(x-a)(x+a)(x-3a)(x+3a)
Svolgo i prodotti e ottengo x^4-10a^2x^2+9a^4.
Uguaglio il polinomio dato a quest'ultimo; per il principio di identità dei polinomi dovrà necessariamente essere (3m+2)=10a^2 e m^2=9a^4, da cui ottengo m=\pm3a^2.
Quindi se m=3a^2, a=\pm\sqrt2 mentre se m=-3a^2, a=\pm\sqrt{\frac{2}{19}}, (salvo errori di calcolo.... sono seduta per terra col portatile mentre il mio piccolo ha usurpato la postazione pc fissa e ogni due secondi "mamma come si salva questo disegno?" "mamma con quante s si scrive assolutamente?"... vedete un po' voi che razza di vita...
mathmum

...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...

Pasquale
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Messaggio da Pasquale » dom gen 22, 2006 3:38 pm

Bello nella sua semplicità, sinteticità e chiarezza.....quindi, i valori richiesti di m sono -\frac{6}{19} \text { e }6
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