radice digitale

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Paolo3
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radice digitale

Messaggio da Paolo3 » sab feb 20, 2016 9:01 am

La radice digitale per i numeri in forma decimale è la somma delle singole cifre iterata fino ad arrivare ad un numero compreso tra 0 e 9. (La prova del 9 si basa sulla radice digitale). Prendiamo un numero: 7^99 ed immaginiamolo nella sua rappresentazione decimale, quale sarebbe la sua radice digitale?

Gianfranco
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Re: radice digitale

Messaggio da Gianfranco » sab feb 20, 2016 9:44 am

7^1 MOD 9 = 7
7^2 MOD 9 = 4
7^3 MOD 9 = 1
7^4 MOD 9 = 7
7^5 MOD 9 = 4
7^6 MOD 9 = 1
...
Spoiler
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7^99 MOD9 = 1
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

peppe
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Re: radice digitale

Messaggio da peppe » sab feb 20, 2016 11:46 pm

Ho calcolato 7^99 con Wolfram Alpha :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4
Questo è il risultato:

462068072803536855906378252728602401551029028414946485847699333055955922805275437143

Un numero di 84 cifre che ho riscritto separando le cifre a gruppi di tre.
Sotto ciascun gruppo ho scritto la radice numerica.La somma delle 28 radici è 91 percui la radice finale è 1.


|462|068|072|803|536|855|906|378|252|728|602|401|551|029|028|414|946|485|847|699|333|055|955|922|805|275|437|143|
| 3 -| 5 -| 0 - | 2 -| 5 -| 0- | 6- | 0 - | 0- | 8- | 8- | 5 - | 2- | 2- | 1- | 0- | 1- | 8- | 1- | 6 - | 0 - | 1- | 1- | 4 - | 4- | 5- | 5- | 8- |

Osservo che il numeraccio termina con le cifre 43.
Ho calcolato le potenze del 7 da 1 a 12 e accanto al risultato anche la radice numerica (il fuori 9):

7^1 = ------------07-----7
7^2 = ------------49-----4
7^3 = -----------343-----1

7^4 = ----------2401-----7
7^5 = ---------16807-----4
7^6 = --------117649-----1

7^7 = --------823543-----7
7^8 = -------5764801-----4
7^9 = ------40353607-----1

7^10= -----282475249-----7
7^11= ----1977326743-----4
7^12= ---13841287201-----1

Come si vede la ciclicità delle radici, giusta l'affermazione di Gianfranco, è : 7 - 4 - 1 , 7 - 4 - 1... a gruppi di tre.
Quindi penso, e non so se a torto o ragione, che essendo 99 un multiplo di 3 (3 x 33 = 99), la radice di 7^99 è uguale
a quella di 7^3 anche se non so darmi una spiegazione. Però 99 è anche multiplo di 11 (9 x 11 = 99) e osservo
che la radice di 7^11 non è 1 ma 4. Boh!?

Riscrivo il valore delle potenze del 7 da 1 a 12:

7^1 = ------------07
7^2 = ------------49
7^3 = -----------343
7^4 = ----------2401

7^5 = ---------16807
7^6 = --------117649
7^7 = --------823543
7^8 = -------5764801

7^9 = ------40353607
7^10= -----282475249
7^11= ----1977326743
7^12= ---13841287201

Le ho divise in gruppi di 4. Noto che le ultime due cifre (unità e decine)
si ripetono con ciclicità di 4: 07-49-43-01 ;

Ora mi chiedo se, data una potenza con esponente elevato, è possibile calcolare il valore delle ultime due cifre
del risultato senza l'uso di calcolatori.

Dal momento che 7^3 = 343 termina con 43, mi verrebbe da pensare che anche 7^99 (multiplo di 3) termina con le cifre 43.
Noto però che anche 7^11 = 1977326743 termina con 43 e che 99 è anche multiplo di 11 .
Quindi a differenza di prima c'è concordanza.

Ora non vorrei ricordare male, ma mi sembra di aver letto, non so dove ne quando, che grazie alle congruenze è
possibile stabilire le ultime due cifre della potenza di un numero qualsiasi con esponente grande con
semplici calcoli, oppure di fare raffronti fra potenze diverse.
So solo che tutto ciò mi crea una gran confusione da mal di testa.
Ci vorrebbe un analgesico, ma la farmacia a qest'ora è chiusa...
Saluti . peppe
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Re: radice digitale

Messaggio da peppe » dom feb 21, 2016 8:45 am

La notte porta consigli...
Forse ho capito.
7^0 = ----1-----1
7^1 = ----7-----7
7^2 =--- 49----9
7^3 =-- 343---3
7^4 =- 2401---1
..........
.........
Le ultime cifre sono 1- 7 - 9 - 3 e si ripetono ciclicamente con un ciclo pari a 4.
Quindi per 7^99 devo fare 99:4= (4x24)+3.
Il resto 3 mi dice che l'ultima cifra di 7^99 è la stessa di 7^3 che è possibile calcolare facilmente.

Per le potenze (mod9):
7^0 = 1 ---------1/9 = 0 ---resto 1
7^1 = 7-- -------7/9 = 0--- resto 7
7^2 = 49-------49/7 = 5- --resto 4
7^3 = 343 ---343/9 = 38--- resto 1
......
......
I resti hanno ciclicità 1-7-4 con ciclo pari a 3.
Quindi per 7^99 , divido 99 per 3 e ottengo: 99/3 =3 con resto 0.
Quindi 7^99 (mod9) = 7^0 (mod9) che dà resto 1
Ditemi se è giusto . Non vorrei aver preso l'ennesima cantonata.
Buona domenica. peppe
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Re: radice digitale

Messaggio da Paolo3 » dom feb 21, 2016 4:20 pm

Peppe, il tuo risultato finale è giusto ma non conoscendo bene l'aritmetica modulare non so valutare il procedimento che hai usato. La mia soluzione personale si basa solo sulla radice digitale e non sull'aritmetica modulare. A 7 corrisponde una radice sette, a 7^2 49 quindi 4, 4*7 28 quindi 10 ed 1 poi si riparte da 7. Dato che la radice 1 si ripete al 3° posto è presente in tutti gli esponenti multipli di 3 quindi anche a 99.

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Re: radice digitale

Messaggio da Gianfranco » dom feb 21, 2016 10:25 pm

Usando l'aritmetica modulare, la dimostrazione che
7^99 = 1 (mod 9)
è molto breve e semplice.

a) Si parte dal fatto facile da verificare che:
7^3 = 1 (mod 9)

b) Si elevano entrambi i termini a 33
(7^3)^33 = 1^33 (mod 9)
7^99 = 1 (mod 9)
Non c'è neanche bisogno di considerare la ciclicità dei resti 1, 7, 4, ...
---
Peppe, hai scritto:
I resti hanno ciclicità 1-7-4 con ciclo pari a 3.
Quindi per 7^99 , divido 99 per 3 e ottengo: 99/3 =3 con resto 0.
Quindi 7^99 (mod9) = 7^0 (mod9) che dà resto 1
Ditemi se è giusto . Non vorrei aver preso l'ennesima cantonata.
Secondo me è giusto.
Però bisognerebbe dimostrare che i resti si ripetono indefinitamente secondo il ciclo 1, 7, 4, ... sia nelle argomentazioni di Paolo3 sia in quelle di Peppe.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: radice digitale

Messaggio da peppe » lun feb 22, 2016 3:09 pm

Grazie Gianfranco per i chiarimenti.
Ho cercato di capire qualcosa sulle congruenze perché affascinato dai criteri di divisibilità
ampiamente trattati anche nel forum. Non ho appreso molto, ma quel tantino che basta giusto
per capire, ad esempio, quello che c'è scritto in questo file pdf:
http://www.paolosiviglia.it/downloader.php?ID=3192
Oppure la risoluzioni di problemi come quello che si può leggere sul bello e interessante (una vera manna per chi cerca quesiti) sito yuomath:
http://www.youmath.it/forum/prova-a-ris ... tenza.html
Grazie al quale ho capito che la ciclicità dipende dalla cifra delle unità.
Ossia ciò che vale per la potenza di 7 , vale anche per 17, 27, 37 ecc. Infatti:
Se prendiamo ad esempio le potenze di 37 si ha:

37^0 =-------- 1-----1
37^1 =------- 37-----7
37^2 =----- 1369-----9
37^3 =---- 50653-----3
37^4 =-- 1874161-----1
.....
.....
stessa ciclicità di 7.

E a proposito di radici numeriche.
Girovagando alla ricerca di curiosità sul numero nove, ho trovato un video dal titolo:
La magia del número nueve, matemáticas vorticiales - The magic number nine, vortex maths
Potete visionarlo a questo link:
https://www.youtube.com/watch?v=B9qy2jYMlrs

Dal minuto 3:02/ 11:09 inizia la visione della parte chiamata "nine in the fibonacci series"
Dove praticamente viene costruita una tabella in varie fasi.
1) The first twelve fibonacci numbers.144 is the square of its location 12^2=144.And the first in the series with a digital root of nine
(I primi dodici numeri di Fibonacci.144 è il quadrato della sua posizione 12 ^ 2 = 144.E' il primo della serie con una radice numerica di nove (1+4+4=9))
Vengono scritti nella prima riga i primi 12 numeri della serie di Fibonacci,ossia:
1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144
---
2) let's reduce all twelve (Riduciamo tutti e dodici)
Successivamente viene costruita una seconda riga con le radici numeriche dei 12 numeri della prima riga.In pratica:
1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144-
1-1-2-3-5-8--4 -3- -7 -1 --8- -9-

---
Gli altri passaggi sono:
3) Now let's find the next nine in the series
(Ora cerchiamo di trovare il prossimo nove della serie).

Inizia (dal minuto 3:51/11:09) la scrittura in verticale di questa serie numerica :
2-3-3|3-7-7|6-1-0|9-8-7|1-5-9-7|2-5-8-4|4-1-8-1|6-7-6-5|1-0-9-4-6|1-7-7-1-1|2-8-6-5-7|4-6-3-6-8|
---
4) Reduce these too (ridurre anche questi)
|2-3-3|3-7-7|6-1-0|9-8-7|1-5-9-7|2-5-8-4|4-1-8-1|6-7-6-5|1-0-9-4-6|1-7-7-1-1|2-8-6-5-7|4-6-3-6-8|
|--8---|---8--|---7--|--6--|----4---|-----1---|----5---|-----6---|-----2----|------8----|------1----|------9----|

5) Exactly twelve numbers later(Esattamente dodici numeri dopo)
Ossia 46368 ha radice numerica 9 e si trova al 12° posto.
+++
Fin qui tutto chiaro.
I guai iniziano dal minuto 3:51/11:09 ,(guardare la barra dello scorrimento dei secondi posta in basso alla schermata del filmato)
non riesco a capire con quale criterio vengono inseriti i numeri nelle 12 colonne sotto alle prime due righe,ossia:

2-3-3|3-7-7|6-1-0|9-8-7|1-5-9-7|2-5-8-4|4-1-8-1|6-7-6-5|1-0-9-4-6|1-7-7-1-1|2-8-6-5-7|4-6-3-6-8|

(La sequenza l'ho scritta in orizzontale e non in verticale come nel video,per una questione di formattazione).
Ringrazio anticipatamente chi mi aiuterà a togliermi questo sfizio.

Saluti .peppe
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Re: radice digitale

Messaggio da Gianfranco » lun feb 22, 2016 6:57 pm

Ciao Peppe,
hai fatto bene a sciverli in orizzontale, perché così è più chiaro che sono i successivi numeri della sequenza di Fibonacci che vengono dopo il 144.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: radice digitale

Messaggio da peppe » lun feb 22, 2016 8:37 pm

Grazie Gianfranco. Ho controllato, (non per sfiducia ma perché sono curioso) hai perfettamente ragione...Epperò!!!

Ti segnalo che da qui:
http://www.matematicamente.it/rivista-i ... ri-interi/
è possibile scaricare un file pdf sulle successioni e famiglie di numeri interi.

E a proposito di numeri, un perdigiornate (quelle piovose, ventose e fredde, che quelle buone le dedidica all'orticello)
in qui-e-scenza (!?)... (che parolaccia! Boh!?), ne scova di stranezze...

Divertimento matematico:
http://xoomer.virgilio.it/palbani/17.html

Stranezze matematiche:
http://xoomer.virgilio.it/palbani/Ferrari.html

Fondamenti di matematica particolari:
http://keespopinga.blogspot.it/2009/01/ ... ca-in.html

A presto.peppe
«Un uomo è come una frazione il cui numeratore è quello che è, e il cui denominatore quello che pensa di sé.
Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

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