R: un serpente entra in un buco

Forum dedicato ai quesiti irrisolti presenti nella collezione di Base5, nel vecchio forum ed in quello attuale.

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_panurgo

R: un serpente entra in un buco

Messaggio da _panurgo » ven mag 19, 2006 7:06 pm

MISURE

Dalla sezione "L'arrampicata della lumaca"

5. Un serpente entra in un buco

Un potente ed invincibile serpente nero lungo 80 "angulas" entra in un buco alla velocità di 15/2 di "angula" in 5/14 di giorno, mentre in 1 di giorno la sua coda cresce di 11/4 di "angula".
O tu, che onori gli aritmetici, sai dirmi in quanto tempo questo serpente entra interamente nel buco?

Mahavira

Il serpente si "allunga" crescendo e si "accorcia" entrando nel buco: sia l_0 la lunghezza iniziale del seprente, v_1 la velocità di "allungamento", v_2 la velocità di "accorciamento".

l_0 = 80 \, {\text "angula"}

v_1 = \frac {11} {4} \, \frac {\text "angula"} {\text "giorno"}

v_2 = \frac {15/2} {5/14} \, \frac {\text "angula"} {\text "giorno"} = 21 \, \frac {\text "angula"} {\text "giorno"}

La lunghezza del serpente al tempo t è pari a

l(t) = l_0 + (v_1 - v_2) t

Il tempo al quale l(t) = 0 è

t = \frac {l_0} {v_2 - v_1} = \frac {80 \, {\text "angula"}} {(21 - \frac {11} 4) \, \frac {\text "angula"} {\text "giorno"}}= \frac {320} {73} \, {\text "giorno"}= 4,38356 \ldots \, {\text "giorno"}
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panurgo

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"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

_Luciano

Messaggio da _Luciano » ven mag 19, 2006 7:08 pm

La "strana" soluzione del problema data da Pan mi ha spinto a curiosare nella Sezione "L'arrampicata della lumaca" e così ho scoperto che il quesito è numericamente diverso da quello proposto nel Forum. Infatti
Un particolare ringraziamento a Paul Vaderlind per la versione corretta di questo problema, attribuito a Mahavira
"A powerful unvanquished black snake which is 80 angulas in length, enters into a hole at the rate of 7 1/2 angulas in 5/14 of a day, and in the course of 1/4 of a day its tail grows 11/4 of an angula. O ornament of arithmeticians, tell me by what time this serpent enters fully into the hole?"
Dunque, la coda del serpente cresce di 11/4 di angula in 1/4 di giorno (e non in 1 giorno).
Se così è, rifacciamo i calcoli:

1) la velocità di ingresso nel buco da parte del serpente è

v_i=\left{\frac{\frac{15}{2}}{\frac{5}{14}}\right}= 21angula/giorno

2) la velocità di accrescimento della coda è

v_c=\left{\frac{\frac{11}{4}}{\frac14}\right}=11angula/giorno

Quindi, ai fini della soluzione del problema, è come se il serpente ogni giorno entrasse di 21 e uscisse di 11 angula, mantenendo costante la sua lunghezza di 80 angula.

Perciò la tribolata operazione si conclude in 8 giorni.

D’altra parte, dopo 6 giorni rimangono fuori 20 angula di serpente che potrebbero entrare tutti nel buco al settimo giorno se, contemporaneamente, non si verificasse anche l’altro sgradito effetto collaterale dell’allungamento della coda, che rimanda il compimento di tutta la manovra al giorno successivo.

Da osservare, infine, che "ingresso nel buco" e "crescita della coda" avvengono simultaneamente, cosicché il tutto può felicemente concludersi esattamente al termine dell’ottavo giorno.

Alla fine, però, il serpente si ritrova di 168 angula: non so a quanto corrisponda esattamente un'angula, ma aumentare di lunghezza del 110% in otto giorni è un bel record, non vi pare?
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Messaggio da Admin » sab mag 20, 2006 12:23 pm

Fine recupero.
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
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