R: Travasi incogniti di vino in acqua

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_Edmund

R: Travasi incogniti di vino in acqua

Messaggio da _Edmund » sab mag 27, 2006 6:47 pm

Un recipiente contiene 250 litri di acqua.
Da esso si tolgono x litri e si rimpiazzano con x litri di vino.
Si mescola fino ad ottenere una miscela omogenea.
Dalla miscela si tolgono nuovamente x litri e si rimpiazzano con x litri di vino.
Dopo queste operazioni la miscela contiene acqua e vino nella proporzione 16/9.
Le domande sono:
a) determinare x;
b) determinare la quantità di acqua prelevata la seconda volta.


Soluz.


Dopo il primo prelievo di x litri di acqua ed aggiunta di x litri di vino

avremo una miscela vino/acqua contenente x/250 litri di vino per ogni

litro di miscela v/a. Dopo aver nuovamente prelevato x litri di volume

della miscela sono rimasti (250-x) litri di miscela v/a contenenti in

totale [x/250*(250-x)] litri di vino che sommati alla ulteriore aggiunta

di x litri di vino (che riporta il volume totale a 250 litri) danno alla

fine una miscela v/a di 250 litri contenente [x/250*(250-x)+x] litri di vino.

Sapendo che il rapporto finale acqua/vino è di 16/9 e cioè che il rapporto

(litri di vino/litri miscela) è pari a

9/(16+9) = 9/25

possiamo scrivere

[x/250*(250-x)+x]/250 = 9/25

si ottiene così un'equazione di secondo grado in x

x^2-500*x+2250=0

con

x=(500-sqr(241000))/2 = 4.541245... litri di vino


Gli x litri di miscela prelevati la seconda volta contengono

(x*x/250) litri di vino e (x-x*x/250) litri di acqua, quindi sostituendo

ad x il valore trovato precedentemente otteniamo che la quantità di acqua

prelevata la seconda volta è pari a 4.458754..... litri.

Ciao
_________________
La cosa più incomprensibile di questo mondo è che esso è comprensibile. A.E.

_Edmund

Messaggio da _Edmund » sab mag 27, 2006 6:47 pm

4. Una possibile generalizzazione

Da un recipiente contenente 1 (unità) di vino si toglie ogni giorno 1/100

e si rimpiazza con acqua, per n giorni.
Quanto vino rimane per n = 20?
Per quale n il vino sarà ridotto a 1/2?
E a 1/3?
Quanto vino rimarrà dopo n giorni?


Soluz.


Inizialmente avremo 100 parti di vino.
al primo giorno togliamo una parte di vino e la sostituiamo con acqua,

quindi avremo 99 parti di vino su 100 di miscela

al secondo giorno preleviamo 1/100 di miscela cioè 1/100 di 99/100 di vino

e lo sostituiamo con acqua, rimangono così 99/100-99/10000=98,01/100
cioè delle cento parti di miscela 98,01 sono di vino. Continuando, in

breve, si ottiene:


1 > .99
2 > .9801
3 > .970299
4 > .96059601
5 > .9509900499
6 > .941480149401
7 > .93206534790699
8 > .92274469442792
9 > .913517247483641
10 > .904382075008805
11 > .895338254258717
12 > .88638487171613
13 > .877521022998969
14 > .868745812768979
15 > .860058354641289
16 > .851457771094876
17 > .842943193383927
18 > .834513761450088
19 > .826168623835587
20 > .817906937597231 dopo 20 prelievi
21 > .809727868221259
22 > .801630589539046
23 > .793614283643656
24 > .785678140807219
25 > .777821359399147
26 > .770043145805156
27 > .762342714347104
28 > .754719287203633
29 > .747172094331597
30 > .739700373388281
31 > .732303369654398
32 > .724980335957854
33 > .717730532598275
34 > .710553227272292
35 > .703447694999569
36 > .696413218049573
37 > .689449085869077
38 > .682554595010386
39 > .675729049060282
40 > .668971758569679
41 > .662282040983982
42 > .655659220574142
43 > .649102628368401
44 > .642611602084717
45 > .63618548606387
46 > .629823631203231
47 > .623525394891199
48 > .617290140942287
49 > .611117239532864
50 > .605006067137535
51 > .59895600646616
52 > .592966446401498
53 > .587036781937483
54 > .581166414118108
55 > .575354749976927
56 > .569601202477158
57 > .563905190452386
58 > .558266138547862
59 > .552683477162383
60 > .547156642390759
61 > .541685075966851
62 > .536268225207182
63 > .53090554295511
64 > .525596487525559
65 > .520340522650303
66 > .5151371174238
67 > .509985746249562
68 > .504885888787066
69 > .499837029899195 riduzione a circa il 50% dopo 69 prelievi
70 > .494838659600203
71 > .489890273004201
72 > .484991370274159
73 > .480141456571417
74 > .475340042005703
75 > .470586641585646
76 > .46588077516979
77 > .461221967418092
78 > .456609747743911
79 > .452043650266472
80 > .447523213763807
81 > .443047981626169
82 > .438617501809907
83 > .434231326791808
84 > .42988901352389
85 > .425590123388651
86 > .421334222154764
87 > .417120879933216
88 > .412949671133884
89 > .408820174422545
90 > .40473197267832
91 > .400684652951537
92 > .396677806422022
93 > .392711028357802
94 > .388783918074224
95 > .384896078893482
96 > .381047118104547
97 > .377236646923502
98 > .373464280454267
99 > .369729637649724
100 > .366032341273227
101 > .362372017860495
102 > .35874829768189
103 > .355160814705071
104 > .35160920655802
105 > .34809311449244
106 > .344612183347516
107 > .341166061514041
108 > .337754400898901
109 > .334376856889912 riduzione a circa 1/3 dopo 109 prelievi.
110 > .331033088321013
........................
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dopo n giorni saranno rimaste 0 parti di vino.
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Messaggio da Admin » sab mag 27, 2006 6:56 pm

Fine recupero.
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Messaggio da Quelo » sab giu 24, 2006 8:00 pm

3. Travasi incogniti di vino in acqua

Nella soluzione c'è un errore per cui la risposta finale è sbagliata: nella formula a cui si giunge

x^2-500x+2250=0

manca uno zero, la formula giusta sarebbe

x^2-500x+22500=0

da cui si ricava

x = 50 litri

Dimostrazione:

250 litri di acqua, ne tolgo 50 e ne metto 50 di vino e ottengo
250 litri di soluzione (rapporto acqua/vino 200/50=4/1) ne tolgo 50 (10 di vino e 40 di acqua) e ne metto 50 di vino e ottengo
250 litri di soluzione (rapporto acqua/vino 200-40/50-10+50=160/90=16/9)

La quantità di acqua prelevata la seconda volta è 40 litri.

Vi propongo la mia soluzione:

Dopo la prima sostituzione nella soluzione ci sono x litri di vino e 250-x = 250(1-\frac{x}{250}) litri di acqua ed il rapporto tra acqua e vino è (1-\frac{x}{250}) / \frac{x}{250}.
Se tolgo x litri di soluzione, tolgo x \cdot \frac{x}{250} litri di vino e x(1-\frac{x}{250}) litri di acqua. Aggiungo x litri di vino e ottengo

x - \frac{x^2}{250} + x = 2x - \frac{x^2}{250} litri di vino e

250(1-\frac{x}{250}) - x(1-\frac{x}{250}) = 250(1-\frac{2x}{250}+(\frac{x}{250})^2) = 250(1-\frac{x}{250})^2 litri di acqua

da cui si ricava che la parte di acqua che rimane è

250(1-\frac{x}{250})^n dove n è il numero di sostituzioni.

A questo punto sappiamo che il rapporto tra acqua e vino è 16/9 quindi quello tra acqua e recipiente è 16/(16+9) = 16/25, quindi nel recipiente ci sono 160 litri di acqua e 90 di vino.
Sostituendo:

250(1-\frac{x}{250})^2 = 160 -> (1-\frac{x}{250})^2 = 16/25 -> 1-\frac{x}{250} = 4/5 -> x = 50 litri

4. Una possibile generalizzazione

La soluzione è giusta tranne che per l'affermazione:

dopo n giorni saranno rimaste 0 parti di vino

perchè dopo n giorni ci saranno ancora (99/100)^n parti di vino.

Il vino riduce a zero per n che tende all'infinito.
Sergio

« La risposta non la devi cercare fuori, la risposta è dentro di te, e però è sbagliata » Parola di Quelo

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