R: Spaghetti e triangoli

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_panurgo

R: Spaghetti e triangoli

Messaggio da _panurgo » sab mag 27, 2006 6:15 pm

3. Spaghetti e triangoli

Prendiamo uno spaghetto e dividiamolo in tre parti a caso.
Qual è la probabilità che le tre parti formino un triangolo?

In questo caso, si potrebbe essere tentati di ragionare come per il precedente problema
panurgo ha scritto:2. Probabilità che sia un triangolo
Dividiamo un segmento in due parti a caso.
Poi dividiamo la parte più lunga in due parti a caso.
Qual è la probabilità che le tre parti formino un triangolo?
(Joe Whittaker, 1990)
[...]
\displaystyle P(y>\frac 12 - x|I) = 4 \log 2 - 2 \approx 77%
dicendo: "l'unica differenza è che adesso non viene indicato esplicitamente che si deve rompere il pezzo più grande".
A questo punto, diventano possibili valori di x > \frac 1 2 e quindi

\displaystyle p (xy|I) = p (x|x\frac 12 - x|I) = 2 \log 2 - 1 \approx 39% .

In realtà, la differenza tra i due problemi va ben oltre; infatti, se nel primo caso si tratta di scegliere a caso in due insiemi di numeri e quindi il principio di indifferenza è immediatamente applicabile, nel secondo caso si parla di un fenomeno fisico per il quale le cose non sono così semplici.
In primo luogo, cosa vuol dire rompere "a caso"? Lo spaghetto si rompe con eguale facilità al centro e agli estremi? Quando si rompe uno spaghetto è possibile (o "facile") romperlo simultaneamente di tre pezzi in modo da non dover scegliere su quale pezzo fare la seconda rottura?

Io ho fatto alcuni esperimenti (per la verità con degli spaghettini) e ho verificato che:

1. gli spaghetti sono molto difficili da rompere alle estremità e, in particolare, a meno di 0,5 \text \, cm (corrispondenti al 2% circa della lunghezza totale) e di questo si deve tener conto nei calcoli cambiando gli estremi di integrazione.

2. molte volte, nel fare la seconda rottura, il pezzo si rompe in tre anzichè in due ed è quindi necessaria molta cautela (altro che "a caso") se non si vogliono fare quadrilateri.

3. provando a fare simultaneamente le due rotture, ho ottenuto un triangolo equilatero...
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panurgo

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_MaMo

Messaggio da _MaMo » sab mag 27, 2006 6:15 pm

I due problemi sono ampiamente trattati da Martin Gardner nel libro "Enigmi e giochi matematici".
Nel primo caso il risultato riportato è 2ln2 - 1, mentre nel secondo la probabilità è 1/4.

_panurgo

Messaggio da _panurgo » sab mag 27, 2006 6:22 pm

Problema 1

Dividiamo un segmento in due parti a caso.
Poi dividiamo la parte più lunga in due parti a caso.
Qual è la probabilità che le tre parti formino un triangolo?

Poniamo L = 1.
Dividiamo a caso un segmento e otteniamo due segmenti di lunghezza pari a x e 1 - x.
Assegnamo x al segmento minore: da ciò la distribuzione di probabilità uniforme tra 0 e \frac 1 2

\displaystyle p(x|I_1) = \{2\,\, \forall x \in [0; \frac 1 2] \\ 0

Dividiamo ora a caso il segmento di lunghezza 1 - x e otteniamo due segmenti di lunghezza y e 1 - x - y: y è distribuito uniformemente tra 0 e 1 - x

\displaystyle p(y|x\,I_1) = \{ \frac 1 {1 - x}\,\, \forall y \in [0; 1 - x]\\ 0

La condizione per avere un triangolo è

\displaystyle \frac 1 2 - x < y < \frac 1 2 + x

Immagine

Da ciò

\displaystyle P(T|I_1) = \int _0 ^{\frac 1 2} dx \frac 2 {1 - x} \int _{\frac 1 2 - x} ^ {\frac 1 2 + x} dy = 4 \log 2 - 2

Problema 2
Come il numero 1 con la differenza che x non è più limitato tra 0 e \frac 1 2.
Metà delle volte 1 - x \le \frac 1 2 per cui non sarà possibile formare un triangolo, poiché il segmento da dividere è già la somma dei due lati minori ed è più corto del terzo lato.

Immagine

Cioè, se scelgo il segmento più lungo ricado nel caso precedente, se scelgo il segmento più corto si ha probabilità nulla: dato che la scelta non dipende dalla lunghezza del segmento la probabilità di scegliere uno o l'altro è pari a \frac 1 2 col che

\displaystyle P(T|I_2) = \frac 1 2 P(T|I_1) = 2 \log 2 - 1 \, [\neq \frac 1 4]

Non capisco da dove possa venire lo 0,25.
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_delfo52

Messaggio da _delfo52 » sab mag 27, 2006 6:25 pm

vedete dove ci si va a incantonare quando diciamo " a caso" ?
Tu dici
"dato che la scelta non dipende dalla lunghezza del segmento la probabilità di scegliere uno o l'altro è pari a 1/2"
in realtà, da come l'avevo letta e intesa io, la probabilità che il secondo taglio cada su un frammento o sull'altro, dovrebbe essere proporzionale alla loro lunghezza...
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Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)

_panurgo

Messaggio da _panurgo » sab mag 27, 2006 6:27 pm

Come contributo alla discussione, questo è ciò da cui sono partito
Admin ha scritto:PROBABILITA' E STATISTICA

Dalla sezione "Un triangolo? forse"

2. Probabilità che sia un triangolo
Dividiamo un segmento in due parti a caso.
Poi dividiamo la parte più lunga in due parti a caso.
Qual è la probabilità che le tre parti formino un triangolo?
(Joe Whittaker, 1990)

3. Spaghetti e triangoli

Prendiamo uno spaghetto e dividiamolo in tre parti a caso.
Qual è la probabilità che le tre parti formino un triangolo?
questo avevo scritto, e mi pareva il punto importante
panurgo ha scritto:In questo caso size=18]{il 3}[/size], si potrebbe essere tentati di ragionare come per il precedente {il 2} problema dicendo: "l'unica differenza è che adesso non viene indicato esplicitamente che si deve rompere il pezzo più grande" [...] In realtà, la differenza tra i due problemi va ben oltre; infatti, se nel primo caso si tratta di scegliere a caso in due insiemi di numeri e quindi il principio di indifferenza è immediatamente applicabile, nel secondo caso si parla di un fenomeno fisico per il quale le cose non sono così semplici.
In primo luogo, cosa vuol dire rompere "a caso"? Lo spaghetto si rompe con eguale facilità al centro e agli estremi? Quando si rompe uno spaghetto è possibile (o "facile") romperlo simultaneamente di tre pezzi in modo da non dover scegliere su quale pezzo fare la seconda rottura?
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_delfo52

Messaggio da _delfo52 » sab mag 27, 2006 6:28 pm

"romperlo a caso". Se necessita di una preparazione e di tutta una serie di preparazioni e azioni (impugnare, torcere, stringere, flettere, frenare,...) non credo si possa definire "a caso".
Forse si potrebbe lasciarlo cadere, osservare in quanti pezzi "a caso" si è rotto, e prendere in considerazione solo i casi in cui si sono formati tre e solo tre frammenti.
A questo punto il problema equivale a:
Si prendano tre numeri a caso fra uno e cento; si prendano in considerazione solo i casi in cui la loro somma è uguale a 100. corrispondono alle misure dei tre lati di un triangolo?
Potrebbe essere utile fare anche qualche simulazione; e per vedere se la randomizzazione è "valida", bisognerebbe calcolare a priori la percentuale attesa di terne accettabili.
Il che significa calcolare la curva di probabilità della somma (o a piacere la curva di probabilità del valore medio); i valori che devono venire sono ovviamente 151,5 (o 50,5). Poi, chi è capace, calcola la probabilità che tali valori siano invece 100 (o 33,3). Bisognerà vedere come conportarsi con gli arrotondamenti.
Anche se le terne "buone" fossero solo 1su cento (o una su mille), si potrà ottenere un bel numero di "spaghetti rotti in tre parti". (vedo infatti che quando fate partire delle simulazioni, i milioni di test di sprecano!).
Se la percentuale di terne valide corrisponde alle attese, significa che il randomizzatore è buono e passeremo a vedere se i tre frammenti chiudono il trinagolo.
Qualcuno vuole provare?
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Enrico
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_panurgo

Messaggio da _panurgo » sab mag 27, 2006 6:29 pm

Caro Enrico, nel momento in cui prendi in considerazione solo i casi in cui la somma vale 100, non importa quale sia la frazione di simulazioni o di esperimenti che tu hai fatto. Di conseguenza ottieni la stessa informazione simulando due numeri e ottenendo il terzo per differenza.
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panurgo

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_panurgo

Messaggio da _panurgo » sab mag 27, 2006 6:31 pm

Ho fatto uno sbaglio nel disegnare la figura
figura errataImmagine
figura correttaImmagine
Con l'estremo di integrazione corretto sono riuscito a riconciliare il mio risultato con quello riportato da Gardner

\displaystyle P(T|I) = \int _0 ^{\frac 1 2} {dx \frac 2 {1 - x} \int _{\frac 1 2 - x} ^{\frac 1 2} {dy}} = 2 \log 2 - 1
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panurgo

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_Ospite

Messaggio da _Ospite » sab mag 27, 2006 6:31 pm

Nel caso del problema n° 3 sfruttiamo la simmetria della situazione e consideriamo la x < 1/2.
Per formare un triangolo la y deve essere compresa tra 1/2 e 1/2 + x.
L'intervallo della y ci fornisce la probabilità di formare il triangolo che è data da (1/2 + x) - 1/2 = x.
La probabilità si trova integrando rispetto ad x da 0 a 1/2:
P = INT(da 0 a 1/2) (x dx) = 1/8
Nel caso 1/2 < x < 1 la probabilità è la stessa per cui si ottiene P = 1/4.

_panurgo

Messaggio da _panurgo » sab mag 27, 2006 6:32 pm

Anonymous ha scritto:Nel caso del problema n° 3 sfruttiamo la simmetria della situazione e consideriamo la x < 1/2.
Per formare un triangolo la y deve essere compresa tra 1/2 e 1/2 + x.
L'intervallo della y ci fornisce la probabilità di formare il triangolo che è data da (1/2 + x) - 1/2 = x.
La probabilità si trova integrando rispetto ad x da 0 a 1/2:
P = INT(da 0 a 1/2) (x dx) = 1/8
Nel caso 1/2 < x < 1 la probabilità è la stessa per cui si ottiene P = 1/4.

Mi spiace, ma continuo a ritenere che questa sia la risposta alla domanda: "dati due numeri i.i.d., campionati da una distribuzione uniforme tra 0 e 1, qual è la probabilità che detti numeri taglino il segmento [0;1] in tre segmenti formanti un triangolo?"

Se la domanda è "qual è la probabilità che sia possibile formare un triangolo con i frammenti ottenuti spezzando a caso uno spaghetto in tre", la risposta non può prescindere dalla natura fisica del problema: assegnare una distribuzione uniforme ai punti di rottura dello spaghetto non corrisponde alla realtà fisica.
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panurgo

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_Ospite

Messaggio da _Ospite » sab mag 27, 2006 6:34 pm

panurrgo ha scritto:...................... "dati due numeri i.i.d., campionati da una distribuzione uniforme tra 0 e 1, qual è la probabilità che detti numeri taglino il segmento [0;1] in tre segmenti formanti un triangolo?"
..............

Io ho provato a risolvere il precedente problema considerando però 3 numeri e la probabilità che i quattro segmenti ottenuti formino un quadrilatero.
Ho ottenuto la seguente probabilità: P = 37/96 = 0,3854.
Non sono sicuro del risultato (mi sembra un po' bassa) per cui chiedo se qualcuno conosce la soluzione o se, con un programmino, è in grado di stabilirne la correttezza.

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Messaggio da Admin » sab mag 27, 2006 6:37 pm

Fine recupero.
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