R: Prova di post di un problema...

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_Admin

R: Prova di post di un problema...

Messaggio da _Admin » mer dic 28, 2005 9:12 am

> Inviato: Gio Mag 19, 2005 6:22 pm Oggetto: Prova di post di un problema...


Prova di post di un problema a caso preso dal forum;

Probabilità o certezza? di Alex

Ecco come appare con l'utilizzo di Tex:

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Considero la seguente equazione:

(3+2\cdot\sqrt{2})^K=A+B\cdot\sqrt{2}

con A, B e K numeri interi
e \sqr{2}=radice quadrata di 2


Quale è la probabilità che: A^2=2\cdot B^2+1 ?
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_________________
Pietro Vitelli
(Amministratore del Forum)

_Bruno

Messaggio da _Bruno » mer dic 28, 2005 9:14 am

>>> Inviato: Lun Ott 24, 2005 4:40 pm Oggetto:


...

Posto le mie considerazioni su questo problema di Alex.

Il quesito proviene dal vecchio forum e Pietro (Admin) mi ha detto che non ricorda se ne sia stata
data la risoluzione.

...

Nella relazione:

\displaystyle (3+2\sqr{2})^k = A+B\sqr{2}

l'esponente può essere non minore di zero oppure minore di zero.
Bisogna allora capire quando, in tali casi, il quadrato di \displaystyle \,{\tex\footnotesize A}\, segua di un'unità il quadrato di \displaystyle \,{\tex\footnotesize B\sqr{2}}\,.



Caso I: \displaystyle \,\,{\tex\footnotesize k\,\ge\,0}.

Comincio a scrivere:

\displaystyle (3+2\sqr{2})^0 = 1+0\sqr{2}\\(3+2\sqr{2})^1 = 3+2\sqr{2}\\(3+2\sqr{2})^2 = 17+12\sqr{2}\\(3+2\sqr{2})^3 = 99+70\sqr{2}

e così via, fino a:

\displaystyle (3+2\sqr{2})^{k-1} = a_{k-1}+b_{k-1}\sqr{2}\\(3+2\sqr{2})^k =(a_{k-1}+b_{k-1}\sqr{2})\cdot(3+2\sqr{2}) = (3a_{k-1}+4b_{k-1})+(2a_{k-1}+3b_{k-1})\sqr{2} = a_k+b_k\sqr{2}.

Pertanto:

\displaystyle 1. \,\,\,\, a_k = 3a_{k-1}+4b_{k-1} \\ 2. \,\,\,\, b_k = 2a_{k-1}+3b_{k-1}

rappresentano le regole di formazione (ricorsive) dei termini \displaystyle \,a\, e \displaystyle \,b\, che compaiono al secondo
membro delle potenze sopra sviluppate.

Con riferimento alla simbologia adottata da Alex, \displaystyle \,a_k \,=\, A e \displaystyle \,b_k \,=\, B.

Ecco una tabellina dei primi valori:

\displaystyle \begin{array}{c|cc}k&a_k&b_k\\\\-----&-----&-----\\\\\\0&1&0\\1&3&2\\2&17&12\\3&99&70\\4&577&408\\5&3363&2378\\6&19601&13860\\7&114243&80782\\\\\\.\\.\\.\\\end{array}

Attraverso la (1) e la (2) posso stabilire le seguenti uguaglianze:

\displaystyle \, \left \{a_{k+1}-a_k = 2a_k+4b_k = (b_{k+1}-3b_k)+4b_k \,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\, a_{k+1}-a_k = b_{k+1}+b_k \\ a_{k+1}+a_k = 4a_k+4b_k = 2(b_{k+1}-3b_k)+4b_k \,\,\, \Rightarrow \,\,\,  a_{k+1}+a_k = 2b_{k+1}-2b_k.

Moltiplicando membro a membro, ottengo:

\displaystyle a_{\tex\footnotesize {k+1}}^2-a_{\tex\footnotesize k}^2 = 2b_{\tex\footnotesize {k+1}}^2-2b_{\tex\footnotesize k}^2

vale a dire:

\displaystyle a_{\tex\footnotesize {k+1}}^2-2b_{\tex\footnotesize {k+1}}^2 = a_{\tex\footnotesize k}^2-2b_{\tex\footnotesize k}^2.

Ma siccome:

\displaystyle a_{\tex\footnotesize 0}^2-2b_{\tex\footnotesize 0}^2 = 1

sarà anche:

\displaystyle 3. \,\,\,\, a_{\tex\footnotesize k}^2-2b_{\tex\footnotesize k}^2 = 1.

Dunque, quando l'esponente di \displaystyle \,(3+2\sqr{2})^k = a_k+b_k\sqr{2}\, non è negativo,
\displaystyle \,a_{\tex\footnotesize k}^2\, segue sempre di un'unità \displaystyle \,(b_k\sqr{2})^2\,, cioè:

\displaystyle A^2=2B^2+1.



Caso II: [tex]\displaystyle \,\,{\tex\footnotesize k\, 0, avrei:

\displaystyle (3+2\sqr{2})^{-r} = \frac {1} {(3+2\sqr{2})^{r}} = \frac {1} {a_r+b_r\sqr{2}}

dove \displaystyle \,a_r\, e \displaystyle \,b_r\, sono numeri interi positivi del tipo definito nel caso precedente.

Quindi, moltiplicando numeratore e denominatore per \displaystyle \,a_r-b_r\sqr{2}\, (naturalmente, \displaystyle a_r \,\neq\, b_r\sqr{2}):

\displaystyle (3+2\sqr{2})^{-r} = \frac {a_r-b_r\sqr{2}} {a_{\tex\footnotesize r}^2-2b_{\tex\footnotesize r}^2} = a_r-b_r\sqr{2},

per la (3).

Rispetto alla simbologia di Alex, \displaystyle \,a_r \,=\, A e \displaystyle \,-b_r \,=\, B.

Dunque, poiché \displaystyle \,(-b_r\sqr{2})^2 =(b_r\sqr{2})^2\,, anche in questo caso è sempre verificata
la relazione:

\displaystyle A^2=2B^2+1.


Tutto ciò, ovviamente, Salvo errori & omissioni --- come si legge sulle fatture.
(Fra l'altro, non ho ancora molta confidenza con Tex, che tuttavia trovo davvero utile.)

Un saluto a tutti,

Bruno

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Messaggio da Bruno » mer dic 28, 2005 9:16 am

...

Fine del recupero.


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Bruno

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