R: Per il varo del nuovo forum
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
R: Per il varo del nuovo forum
Bene, bene.......sono approdato al cantiere.
Grazie dunque a Gianfranco e Pietro il Grande, auguri e........lanciamo questa bottiglia per il varo!
Per il momento parto col vecchio sistema.....poi imparerò strada facendo.
................................................................. .................................................................
Dimostrare che se m, n, r sono interi positivi non nulli e se:
1 + m + n*sqr(3) = [2 + sqr(3)]^(2r-1)
allora m è un quadrato perfetto.
Ciao.......iiiiiaaaaaooooooooooooohhh !!!!!!!
Grazie dunque a Gianfranco e Pietro il Grande, auguri e........lanciamo questa bottiglia per il varo!
Per il momento parto col vecchio sistema.....poi imparerò strada facendo.
................................................................. .................................................................
Dimostrare che se m, n, r sono interi positivi non nulli e se:
1 + m + n*sqr(3) = [2 + sqr(3)]^(2r-1)
allora m è un quadrato perfetto.
Ciao.......iiiiiaaaaaooooooooooooohhh !!!!!!!
Solo per mostrarvi l'impatto grafico, usando Tex viene così:
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Dimostrare che se m, n, r sono interi positivi non nulli e se:
$1+m+n\cdot\sqr{3} = [2+\sqr{3}]^{2r-1}$
allora m è un quadrato perfetto.
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il codice usato in questo caso è:
E' molto semplice.
Mi raccomando, utilizzatelo.
Una volta scritte due o tre equazioni, tutto diventa più facile.
Potete premere sul link "Promemoria dei simboli", sotto la form del messaggio per visualizzare i principali simboli utilizzabili.
_________________
Pietro Vitelli
(Amministratore del Forum)
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Dimostrare che se m, n, r sono interi positivi non nulli e se:
$1+m+n\cdot\sqr{3} = [2+\sqr{3}]^{2r-1}$
allora m è un quadrato perfetto.
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il codice usato in questo caso è:
Codice: Seleziona tutto
[tex]1+m+n\cdot\sqr{3} = [2+\sqr{3}]^{2r-1}[/tex]
Mi raccomando, utilizzatelo.
Una volta scritte due o tre equazioni, tutto diventa più facile.
Potete premere sul link "Promemoria dei simboli", sotto la form del messaggio per visualizzare i principali simboli utilizzabili.
_________________
Pietro Vitelli
(Amministratore del Forum)
Forse c'è qualche errore nella tua espressione o nella formulazione del quesito
Mi sembra che m sia quadrato perfetto solo per pochi valori di n e r.
Già se provi con r=1 e n=2, viene $m=\displaystyle 1-\sqr{3}$ che non è un quadrato perfetto.
_________________
Pietro Vitelli
(Amministratore del Forum)
Mi sembra che m sia quadrato perfetto solo per pochi valori di n e r.
Già se provi con r=1 e n=2, viene $m=\displaystyle 1-\sqr{3}$ che non è un quadrato perfetto.
_________________
Pietro Vitelli
(Amministratore del Forum)
Sono giunto alla conclusione che per ogni r fissato, la scelta di m è forzata e m vale:
$m(r)=\frac{1}{2}((7+4\sqr{3})^{r-1}(\sqr{3}+2)-(7-4\sqr{3})^{r-1}(\sqr{3}-2))-1$
Il computer mi dice che i primi 10 termini di questa successione sono:
$(1,25,361,5041,70225,978121,13623481,189750625, 2642885281, 36810643321)$
E le loro radici quadrate sono:
$(1,5, 19, 71, 265, 989, 3691, 13775, 51409, 191861)$
Quindi lo trovo ragionevole. Il problema è cavare qualche conclusione da m(r).
Il valore di m+1 si può vedere come (fissato r) la prima componente del vettore risultante dal prodotto tra
la matrice $\begin{pmatrix}7&12\\4&7\end{pmatrix}^{r-1}$ e il vettore $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$.
E quindi, per ora ancora niente!
Ciao
$m(r)=\frac{1}{2}((7+4\sqr{3})^{r-1}(\sqr{3}+2)-(7-4\sqr{3})^{r-1}(\sqr{3}-2))-1$
Il computer mi dice che i primi 10 termini di questa successione sono:
$(1,25,361,5041,70225,978121,13623481,189750625, 2642885281, 36810643321)$
E le loro radici quadrate sono:
$(1,5, 19, 71, 265, 989, 3691, 13775, 51409, 191861)$
Quindi lo trovo ragionevole. Il problema è cavare qualche conclusione da m(r).
Il valore di m+1 si può vedere come (fissato r) la prima componente del vettore risultante dal prodotto tra
la matrice $\begin{pmatrix}7&12\\4&7\end{pmatrix}^{r-1}$ e il vettore $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$.
E quindi, per ora ancora niente!
Ciao
Studio del problema
Ho provato a studiare n(r) e m(r), ed ho notato che valgono le seguenti regole:
n(1)=1
m(1)=1*1=1²=1
n(2)=(4*1-0)²-1² = 4²-1²=15
m(2)=(4+1)*(4+1) = (4+1)²=5*5=25
n(3)= (4*4-1)²-4² = 15²-4²=209
m(3)=(15+4)*(15+4) = (15+4)²=19*19=361
n(4)= (4*15-4)²-15² = 56²-15²=2911
m(4)=(56+15)*(56+15) = (56+15)²=71*71=5041
n(5)= (4*56-15)²-56² = 209²-56²=40545
m(5)=(209+56)*(209+56) = (209+56)²=265*265=70225
n(6)= (4*209-56)²-209² = 780²-209²=564719
m(6)=(780+209)*(780+209) = (780+209)²=989*989=978121
…
…
(se r,n,m sono numeri interi positivi)
n(1)=1
m(1)=1*1=1²=1
n(2)=(4*1-0)²-1² = 4²-1²=15
m(2)=(4+1)*(4+1) = (4+1)²=5*5=25
n(3)= (4*4-1)²-4² = 15²-4²=209
m(3)=(15+4)*(15+4) = (15+4)²=19*19=361
n(4)= (4*15-4)²-15² = 56²-15²=2911
m(4)=(56+15)*(56+15) = (56+15)²=71*71=5041
n(5)= (4*56-15)²-56² = 209²-56²=40545
m(5)=(209+56)*(209+56) = (209+56)²=265*265=70225
n(6)= (4*209-56)²-209² = 780²-209²=564719
m(6)=(780+209)*(780+209) = (780+209)²=989*989=978121
…
…
(se r,n,m sono numeri interi positivi)
Approfondimento del problema
Si può notare anche la seguente cosa,
consideriamo la successione:
s(0)=0
s(1)=1
...
s(r) = 4*s(r-1) - s(r-2)
allora avremo che:
m(r)=(s(r)+s(r-1))²
consideriamo la successione:
s(0)=0
s(1)=1
...
s(r) = 4*s(r-1) - s(r-2)
allora avremo che:
m(r)=(s(r)+s(r-1))²
Un altro punto di vista
Mi sembra che il problema di apritisesamo si possa esprimere anche con una sommatoria, ovvero:
Dimostrare che il risultato di $\sum_{i=1}^{k} \begin{pmatrix}2k-1\\2i-2\end{pmatrix}\cdot 2^{(2k-2i+1)}\cdot3^{(i-1)} - 1$ è sempre un quadrato.
Ecco i primi tre valori con k =1, 2, 3
$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\cdot 2^1\cdot3^0 - 1 = 1^2$
$\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\cdot 2^3\cdot3^0 + \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\cdot 2^1\cdot3^1- 1 = 5^2$
$\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}\cdot 2^5\cdot3^0 + \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}\cdot 2^3\cdot3^1+ \begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\cdot 2^1\cdot3^2 - 1 = 19^2$
Dimostrare che il risultato di $\sum_{i=1}^{k} \begin{pmatrix}2k-1\\2i-2\end{pmatrix}\cdot 2^{(2k-2i+1)}\cdot3^{(i-1)} - 1$ è sempre un quadrato.
Ecco i primi tre valori con k =1, 2, 3
$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\cdot 2^1\cdot3^0 - 1 = 1^2$
$\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\cdot 2^3\cdot3^0 + \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\cdot 2^1\cdot3^1- 1 = 5^2$
$\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}\cdot 2^5\cdot3^0 + \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}\cdot 2^3\cdot3^1+ \begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\cdot 2^1\cdot3^2 - 1 = 19^2$
Riconsidero l'osservazione di Alex.
Moltiplicando $\displaystyle \, (2+\sqr{3}) \,$ per $\displaystyle \, (a+b\sqr{3}) \,$ si ottiene:
$\displaystyle (2+\sqr{3})(a+b\sqr{3}) = (2a+3b)+(a+2b)\sqr{3}$ .
Quindi, partendo da $\displaystyle \, 2a_0+3b_0 = 2 \,$ e $\displaystyle \, a_0+2b_0 = 1 \,$ cioè $\displaystyle \, a_0 = 1 \,$ e $\displaystyle \, b_0 = 0 \,$
e operando come indicato da:
$\displaystyle 1) \, a_i = 2a_{i-1}+3b_{i-1} \\ 2) \, b_i = a_{i-1}+2b_{i-1} \,$
si può comporre la seguente tabella
$\displaystyle \begin{array}{c|cc}i&a_i&b_i\\\\-----&-----&-----\\\\\\0&1&0\\1&2&1\\2&7&4\\3&26&15\\4&97&56\\5&362&209\\6&1351&780\\7&5042&2911\\8&18817&10864\\9&70226&40545\end{array}$
etc.
Osservando queste successioni di numeri si possono verificare diverse relazioni. Per
esempio:
$\displaystyle 3) \, a_i = 2b_i-b_{i-1} \\ 4) \, b_i = \frac {2a_i-a_{i-1}} {3}$
----------
La (3) si può ricavare dalla (1) dopo aver sostituito $\displaystyle {\tex\footnotesize a_{i-1}}$ con $\displaystyle {\tex\footnotesize b_i-2b_{i-1}}$ in base alla (2).
Con procedimento simile si ottiene la (4) dalla (2) sostituendo $\displaystyle {\tex\footnotesize b_{i-1}}$ in base alla (1).
----------
o anche:
$\displaystyle 5) \, a_i = 4b_{i-1}-a_{i-2} \\ 6) \, b_i = 4b_{i-1}-b_{i-2}$
----------
La (5) si può ottenere applicando la (4) al termine $\displaystyle {\tex\footnotesize b_{i-1}}$ della (1).
Con procedimento simile si ottiene la (6), applicando la (3) al termine $\displaystyle {\tex\footnotesize a_{i-1}}$ della (2).
----------
Le ultime due relazioni, a differenza di quelle che precedono, hanno la stessa forma per
gli $\displaystyle \, a_i \,$ e i $\displaystyle \, b_i \,$. Ma vi sono altre proprietà che possono essere applicate
a entrambe le successioni, come per esempio questa:
$\displaystyle 7) \, 2a_i2a_{i+1}-(a_{i+1}-a_i)^2 = 2a_{i+1}a_{i+2}-(a_{i+2}-a_{i+1})^2$
(sostituendo $\displaystyle \, a \,$ con $\displaystyle \, b \,$ si ha quella corrispondente ai numeri $\displaystyle \, b_i$).
----------
Per provare la (7) si potrebbe procedere così:
$\displaystyle {\tex\footnotesize (a_{i+2}-a_{i+1})^2-(a_{i+1}-a_i)^2=2a_{i+1}a_{i+2}-2a_ia_{i+1}}$
$\displaystyle {\tex\footnotesize (a_{i+2}-a_i)(a_{i+2}-2a_{i+1}+a_i)=2a_{i+1}(a_{i+2}-a_i)}$
e in effetti si riconosce che:
$\displaystyle {\tex\footnotesize a_{i+2}-2a_{i+1}+a_i=2a_{i+1}$
è una conseguenza della (5).
----------
Pertanto, poiché $\displaystyle \, 2a_0a_1-(a_1-a_0)^2 = 3 \,$ , sarà anche:
$\displaystyle 7a) \, 2a_ia_{i+1}-(a{i+1}-a_i)^2 = 3 \,$ .
Un'altra interessante relazione può essere stabilita osservando quanto segue.
Se nella
$\displaystyle a_i = 4b_{i-1}-a_{i-2}$
si sostituisse $\displaystyle \, a_{i-1} \,$ con $\displaystyle \, 4a_{i-2}-a_{i-3} \,$ , si avrebbe:
$\displaystyle a_i = 4(4a_{i-2}-a_{i-3})-a_{i-2} = (4\cdot 4-1)a_{i-2}-4a_{i-3} = 15a_{i-2}-4a_{i-3}$
Operando nello stesso modo con $\displaystyle \, a_{i-2} \,$ e in seguito con $\displaystyle \, a_{i-3}, \, a_{i-4}$ etc.,
si avrebbe ancora:
$\displaystyle a_i = 15(4a_{i-3}-a_{i-4})-4a_{i-3} = (4\cdot 15-4)a_{i-3}-15a_{i-4} = 56a_{i-3}-15a_{i-4} \\ a_i = 56(4a_{i-4}-a_{i-5})-15a_{i-4} = (4\cdot 56-15)a_{i-4}-56a_{i-5} = 209a_{i-4}-56a_{i-5} \\ a_i = 209(4a_{i-5}-a_{i-6})-56a_{i-5} = (4\cdot 209-56)a_{i-5}-209a_{i-6} = 780a_{i-5}-209a_{i-6}$
etc.
Si vede subito che i coefficienti che compaiono nel secondo membro non sono altro
che elementi consecutivi della successione dei $\displaystyle \, b_i \,$, dal momento che essi obbediscono
alla regola di formazione (6) a partire da 1 e 4.
Ciò dimostra direttamente che:
$\displaystyle 8 ) \, a_i = a_{i-h}b_{h+1}-a_{i-h-1}b_h$
dove $\displaystyle \, i-1 \ge h \ge 0 \,$.
Quest'ultima relazione, per $\displaystyle \, i-h = h+1 \,$ , diventa:
$\displaystyle 9) \, a_{2h+1} = a_{h+1}b_{h+1}-a_hb_h$
Ecco, la (9) può aiutare a dimostrare il problema di Apritisesamo.
Infatti, sostituendo $\displaystyle \, b_h \,$ e $\displaystyle \, b_{h+1} \,$ , nell'ordine, in base alla (1) e alla (4),
si trova:
$\displaystyle a_{2h+1} = \frac {2(a_{h+1}-a_h)^2+2a_ha_{h+1}} {3} \,$.
D'altra parte, però, per la (7a) è:
$\displaystyle 2a_ha_{h+1} = (a_{h+1}-a_h)^2+3$
e allora:
$\displaystyle a_{2h+1} = (a_{h+1}-a_h)^2+1$
Questo significa che i termini $\displaystyle \, a_i \,$ con $\displaystyle \, i \,$ dispari seguono sempre di un'unità un numero
quadrato e quindi $\displaystyle \, a_i-1 \,$ (che corrisponde alla lettera $\displaystyle \, m \,$ di Apritisesamo) in tali casi
è un quadrato.
Bruno
Moltiplicando $\displaystyle \, (2+\sqr{3}) \,$ per $\displaystyle \, (a+b\sqr{3}) \,$ si ottiene:
$\displaystyle (2+\sqr{3})(a+b\sqr{3}) = (2a+3b)+(a+2b)\sqr{3}$ .
Quindi, partendo da $\displaystyle \, 2a_0+3b_0 = 2 \,$ e $\displaystyle \, a_0+2b_0 = 1 \,$ cioè $\displaystyle \, a_0 = 1 \,$ e $\displaystyle \, b_0 = 0 \,$
e operando come indicato da:
$\displaystyle 1) \, a_i = 2a_{i-1}+3b_{i-1} \\ 2) \, b_i = a_{i-1}+2b_{i-1} \,$
si può comporre la seguente tabella
$\displaystyle \begin{array}{c|cc}i&a_i&b_i\\\\-----&-----&-----\\\\\\0&1&0\\1&2&1\\2&7&4\\3&26&15\\4&97&56\\5&362&209\\6&1351&780\\7&5042&2911\\8&18817&10864\\9&70226&40545\end{array}$
etc.
Osservando queste successioni di numeri si possono verificare diverse relazioni. Per
esempio:
$\displaystyle 3) \, a_i = 2b_i-b_{i-1} \\ 4) \, b_i = \frac {2a_i-a_{i-1}} {3}$
----------
La (3) si può ricavare dalla (1) dopo aver sostituito $\displaystyle {\tex\footnotesize a_{i-1}}$ con $\displaystyle {\tex\footnotesize b_i-2b_{i-1}}$ in base alla (2).
Con procedimento simile si ottiene la (4) dalla (2) sostituendo $\displaystyle {\tex\footnotesize b_{i-1}}$ in base alla (1).
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o anche:
$\displaystyle 5) \, a_i = 4b_{i-1}-a_{i-2} \\ 6) \, b_i = 4b_{i-1}-b_{i-2}$
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La (5) si può ottenere applicando la (4) al termine $\displaystyle {\tex\footnotesize b_{i-1}}$ della (1).
Con procedimento simile si ottiene la (6), applicando la (3) al termine $\displaystyle {\tex\footnotesize a_{i-1}}$ della (2).
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Le ultime due relazioni, a differenza di quelle che precedono, hanno la stessa forma per
gli $\displaystyle \, a_i \,$ e i $\displaystyle \, b_i \,$. Ma vi sono altre proprietà che possono essere applicate
a entrambe le successioni, come per esempio questa:
$\displaystyle 7) \, 2a_i2a_{i+1}-(a_{i+1}-a_i)^2 = 2a_{i+1}a_{i+2}-(a_{i+2}-a_{i+1})^2$
(sostituendo $\displaystyle \, a \,$ con $\displaystyle \, b \,$ si ha quella corrispondente ai numeri $\displaystyle \, b_i$).
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Per provare la (7) si potrebbe procedere così:
$\displaystyle {\tex\footnotesize (a_{i+2}-a_{i+1})^2-(a_{i+1}-a_i)^2=2a_{i+1}a_{i+2}-2a_ia_{i+1}}$
$\displaystyle {\tex\footnotesize (a_{i+2}-a_i)(a_{i+2}-2a_{i+1}+a_i)=2a_{i+1}(a_{i+2}-a_i)}$
e in effetti si riconosce che:
$\displaystyle {\tex\footnotesize a_{i+2}-2a_{i+1}+a_i=2a_{i+1}$
è una conseguenza della (5).
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Pertanto, poiché $\displaystyle \, 2a_0a_1-(a_1-a_0)^2 = 3 \,$ , sarà anche:
$\displaystyle 7a) \, 2a_ia_{i+1}-(a{i+1}-a_i)^2 = 3 \,$ .
Un'altra interessante relazione può essere stabilita osservando quanto segue.
Se nella
$\displaystyle a_i = 4b_{i-1}-a_{i-2}$
si sostituisse $\displaystyle \, a_{i-1} \,$ con $\displaystyle \, 4a_{i-2}-a_{i-3} \,$ , si avrebbe:
$\displaystyle a_i = 4(4a_{i-2}-a_{i-3})-a_{i-2} = (4\cdot 4-1)a_{i-2}-4a_{i-3} = 15a_{i-2}-4a_{i-3}$
Operando nello stesso modo con $\displaystyle \, a_{i-2} \,$ e in seguito con $\displaystyle \, a_{i-3}, \, a_{i-4}$ etc.,
si avrebbe ancora:
$\displaystyle a_i = 15(4a_{i-3}-a_{i-4})-4a_{i-3} = (4\cdot 15-4)a_{i-3}-15a_{i-4} = 56a_{i-3}-15a_{i-4} \\ a_i = 56(4a_{i-4}-a_{i-5})-15a_{i-4} = (4\cdot 56-15)a_{i-4}-56a_{i-5} = 209a_{i-4}-56a_{i-5} \\ a_i = 209(4a_{i-5}-a_{i-6})-56a_{i-5} = (4\cdot 209-56)a_{i-5}-209a_{i-6} = 780a_{i-5}-209a_{i-6}$
etc.
Si vede subito che i coefficienti che compaiono nel secondo membro non sono altro
che elementi consecutivi della successione dei $\displaystyle \, b_i \,$, dal momento che essi obbediscono
alla regola di formazione (6) a partire da 1 e 4.
Ciò dimostra direttamente che:
$\displaystyle 8 ) \, a_i = a_{i-h}b_{h+1}-a_{i-h-1}b_h$
dove $\displaystyle \, i-1 \ge h \ge 0 \,$.
Quest'ultima relazione, per $\displaystyle \, i-h = h+1 \,$ , diventa:
$\displaystyle 9) \, a_{2h+1} = a_{h+1}b_{h+1}-a_hb_h$
Ecco, la (9) può aiutare a dimostrare il problema di Apritisesamo.
Infatti, sostituendo $\displaystyle \, b_h \,$ e $\displaystyle \, b_{h+1} \,$ , nell'ordine, in base alla (1) e alla (4),
si trova:
$\displaystyle a_{2h+1} = \frac {2(a_{h+1}-a_h)^2+2a_ha_{h+1}} {3} \,$.
D'altra parte, però, per la (7a) è:
$\displaystyle 2a_ha_{h+1} = (a_{h+1}-a_h)^2+3$
e allora:
$\displaystyle a_{2h+1} = (a_{h+1}-a_h)^2+1$
Questo significa che i termini $\displaystyle \, a_i \,$ con $\displaystyle \, i \,$ dispari seguono sempre di un'unità un numero
quadrato e quindi $\displaystyle \, a_i-1 \,$ (che corrisponde alla lettera $\displaystyle \, m \,$ di Apritisesamo) in tali casi
è un quadrato.
Bruno
...
Dunque, richiamando l'impostazione di Apritisesamo, si è appena verificato che:
$\displaystyle 1+(a_r-a_{r-1})^2+b_{2r-1}\cdot \sqr {3} = (2+\sqr {3})^{2r-1}$
con $\displaystyle \, r \,$ intero e positivo, mentre $\displaystyle \, a \,$ e $\displaystyle \, b \,$ provengono dalle due successioni costruite
all'inizio del messaggio precedente.
Fra tali successioni esiste pure la relazione:
$\displaystyle a_i^2-3b_i^2 = 1$
(che non è difficile dimostrare, anche per mezzo dei risultato esaminati sopra).
Questo vuol dire che l'equazione:
$\displaystyle x^2-3y^2 = 1$
ammette infinite soluzioni intere.
Al contrario, NON si può dire la stessa cosa per l'equazione:
$\displaystyle x^2-3y^2 = -1 \,$ ,
la quale, infatti, non ammette soluzioni intere, nemmeno una.
Chi vuole dimostrarlo?
Un saluto a tutti!
Bruno
Dunque, richiamando l'impostazione di Apritisesamo, si è appena verificato che:
$\displaystyle 1+(a_r-a_{r-1})^2+b_{2r-1}\cdot \sqr {3} = (2+\sqr {3})^{2r-1}$
con $\displaystyle \, r \,$ intero e positivo, mentre $\displaystyle \, a \,$ e $\displaystyle \, b \,$ provengono dalle due successioni costruite
all'inizio del messaggio precedente.
Fra tali successioni esiste pure la relazione:
$\displaystyle a_i^2-3b_i^2 = 1$
(che non è difficile dimostrare, anche per mezzo dei risultato esaminati sopra).
Questo vuol dire che l'equazione:
$\displaystyle x^2-3y^2 = 1$
ammette infinite soluzioni intere.
Al contrario, NON si può dire la stessa cosa per l'equazione:
$\displaystyle x^2-3y^2 = -1 \,$ ,
la quale, infatti, non ammette soluzioni intere, nemmeno una.
Chi vuole dimostrarlo?
Un saluto a tutti!
Bruno
.: Fine del recupero :.
Il primo post è del 25 maggio 2005, mentre l'ultimo è dell'11 ottobre 2005.
Il quesito conclusivo, quello riguardante l'equazione $\displaystyle \, x^2-3y^2 = -1 \,$, è stato
successivamente riproposto in un nuovo topic e risolto da Pasquale:
https://www.base5forum.it/viewtopic.php?t=136
.........
Bruno
Il primo post è del 25 maggio 2005, mentre l'ultimo è dell'11 ottobre 2005.
Il quesito conclusivo, quello riguardante l'equazione $\displaystyle \, x^2-3y^2 = -1 \,$, è stato
successivamente riproposto in un nuovo topic e risolto da Pasquale:
https://www.base5forum.it/viewtopic.php?t=136
.........
Bruno