R: Per il varo del nuovo forum

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

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_apritisesamo

R: Per il varo del nuovo forum

Messaggio da _apritisesamo » gio gen 12, 2006 3:29 pm

Bene, bene.......sono approdato al cantiere.

Grazie dunque a Gianfranco e Pietro il Grande, auguri e........lanciamo questa bottiglia per il varo!

Per il momento parto col vecchio sistema.....poi imparerò strada facendo.

................................................................. :D :lol: :P :twisted: :shock: .................................................................

Dimostrare che se m, n, r sono interi positivi non nulli e se:

1 + m + n*sqr(3) = [2 + sqr(3)]^(2r-1)

allora m è un quadrato perfetto.

Ciao.......iiiiiaaaaaooooooooooooohhh !!!!!!!

_Admin

Messaggio da _Admin » gio gen 12, 2006 3:30 pm

Solo per mostrarvi l'impatto grafico, usando Tex viene così:
--------------------------------------------------------------------
Dimostrare che se m, n, r sono interi positivi non nulli e se:

1+m+n\cdot\sqr{3} = [2+\sqr{3}]^{2r-1}

allora m è un quadrato perfetto.
--------------------------------------------------------------------
il codice usato in questo caso è:

Codice: Seleziona tutto

[tex]1+m+n\cdot\sqr{3} = [2+\sqr{3}]^{2r-1}[/tex] 
E' molto semplice.
Mi raccomando, utilizzatelo.
Una volta scritte due o tre equazioni, tutto diventa più facile.
Potete premere sul link "Promemoria dei simboli", sotto la form del messaggio per visualizzare i principali simboli utilizzabili.
_________________
Pietro Vitelli
(Amministratore del Forum)

_Admin

Messaggio da _Admin » gio gen 12, 2006 3:32 pm

Forse c'è qualche errore nella tua espressione o nella formulazione del quesito
Mi sembra che m sia quadrato perfetto solo per pochi valori di n e r.

Già se provi con r=1 e n=2, viene m=\displaystyle 1-\sqr{3} che non è un quadrato perfetto.
_________________
Pietro Vitelli
(Amministratore del Forum)

_Ospite

Messaggio da _Ospite » gio gen 12, 2006 3:33 pm

Ciao,
sto provando a risolvere il quesito.
Per me non ci sono errori nella formulazione del quesito.
Apritisesamo aveva specificato che anche m deve essere intero positivo non nullo.

_Admin

Messaggio da _Admin » gio gen 12, 2006 3:33 pm

OK;
pardon;
_________________
Pietro Vitelli
(Amministratore del Forum)

_Tino

Messaggio da _Tino » gio gen 12, 2006 3:34 pm

Sono giunto alla conclusione che per ogni r fissato, la scelta di m è forzata e m vale:

m(r)=\frac{1}{2}((7+4\sqr{3})^{r-1}(\sqr{3}+2)-(7-4\sqr{3})^{r-1}(\sqr{3}-2))-1

Il computer mi dice che i primi 10 termini di questa successione sono:

(1,25,361,5041,70225,978121,13623481,189750625, 2642885281, 36810643321)

E le loro radici quadrate sono:

(1,5, 19, 71, 265, 989, 3691, 13775, 51409, 191861)

Quindi lo trovo ragionevole. Il problema è cavare qualche conclusione da m(r).

Il valore di m+1 si può vedere come (fissato r) la prima componente del vettore risultante dal prodotto tra
la matrice \begin{pmatrix}7&12\\4&7\end{pmatrix}^{r-1} e il vettore \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}.

E quindi, per ora ancora niente! :D

Ciao

_Alex

Studio del problema

Messaggio da _Alex » gio gen 12, 2006 3:53 pm

Ho provato a studiare n(r) e m(r), ed ho notato che valgono le seguenti regole:

n(1)=1
m(1)=1*1=1²=1

n(2)=(4*1-0)²-1² = 4²-1²=15
m(2)=(4+1)*(4+1) = (4+1)²=5*5=25

n(3)= (4*4-1)²-4² = 15²-4²=209
m(3)=(15+4)*(15+4) = (15+4)²=19*19=361

n(4)= (4*15-4)²-15² = 56²-15²=2911
m(4)=(56+15)*(56+15) = (56+15)²=71*71=5041

n(5)= (4*56-15)²-56² = 209²-56²=40545
m(5)=(209+56)*(209+56) = (209+56)²=265*265=70225

n(6)= (4*209-56)²-209² = 780²-209²=564719
m(6)=(780+209)*(780+209) = (780+209)²=989*989=978121




(se r,n,m sono numeri interi positivi)

_Alex

Approfondimento del problema

Messaggio da _Alex » gio gen 12, 2006 3:54 pm

Si può notare anche la seguente cosa,
consideriamo la successione:

s(0)=0
s(1)=1
...
s(r) = 4*s(r-1) - s(r-2)

allora avremo che:

m(r)=(s(r)+s(r-1))²

_giobimbo

Un altro punto di vista

Messaggio da _giobimbo » gio gen 12, 2006 3:55 pm

Mi sembra che il problema di apritisesamo si possa esprimere anche con una sommatoria, ovvero:
Dimostrare che il risultato di \sum_{i=1}^{k}  \begin{pmatrix}2k-1\\2i-2\end{pmatrix}\cdot 2^{(2k-2i+1)}\cdot3^{(i-1)} - 1 è sempre un quadrato.

Ecco i primi tre valori con k =1, 2, 3

\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\cdot 2^1\cdot3^0 - 1 = 1^2

\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\cdot 2^3\cdot3^0 +  \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\cdot 2^1\cdot3^1- 1 = 5^2

\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}\cdot 2^5\cdot3^0 +  \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}\cdot 2^3\cdot3^1+  \begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\cdot 2^1\cdot3^2 - 1 = 19^2

_Bruno

Messaggio da _Bruno » gio gen 12, 2006 3:58 pm

Riconsidero l'osservazione di Alex.

Moltiplicando \displaystyle \, (2+\sqr{3}) \, per \displaystyle \, (a+b\sqr{3}) \, si ottiene:

\displaystyle (2+\sqr{3})(a+b\sqr{3}) = (2a+3b)+(a+2b)\sqr{3} .

Quindi, partendo da \displaystyle \, 2a_0+3b_0 = 2 \, e \displaystyle \, a_0+2b_0 = 1 \, cioè \displaystyle \, a_0 = 1 \, e \displaystyle \, b_0 = 0 \,
e operando come indicato da:

\displaystyle  1) \, a_i = 2a_{i-1}+3b_{i-1} \\ 2) \, b_i = a_{i-1}+2b_{i-1} \,

si può comporre la seguente tabella

\displaystyle \begin{array}{c|cc}i&a_i&b_i\\\\-----&-----&-----\\\\\\0&1&0\\1&2&1\\2&7&4\\3&26&15\\4&97&56\\5&362&209\\6&1351&780\\7&5042&2911\\8&18817&10864\\9&70226&40545\end{array}
etc.

Osservando queste successioni di numeri si possono verificare diverse relazioni. Per
esempio:

\displaystyle  3) \, a_i = 2b_i-b_{i-1} \\ 4) \, b_i = \frac {2a_i-a_{i-1}} {3}

----------
La (3) si può ricavare dalla (1) dopo aver sostituito \displaystyle {\tex\footnotesize a_{i-1}} con \displaystyle {\tex\footnotesize b_i-2b_{i-1}} in base alla (2).
Con procedimento simile si ottiene la (4) dalla (2) sostituendo \displaystyle {\tex\footnotesize b_{i-1}} in base alla (1).
----------

o anche:

\displaystyle  5) \, a_i = 4b_{i-1}-a_{i-2} \\ 6) \, b_i = 4b_{i-1}-b_{i-2}

----------
La (5) si può ottenere applicando la (4) al termine \displaystyle {\tex\footnotesize b_{i-1}} della (1).
Con procedimento simile si ottiene la (6), applicando la (3) al termine \displaystyle {\tex\footnotesize a_{i-1}} della (2).
----------

Le ultime due relazioni, a differenza di quelle che precedono, hanno la stessa forma per
gli \displaystyle \, a_i \, e i \displaystyle \, b_i \,. Ma vi sono altre proprietà che possono essere applicate
a entrambe le successioni, come per esempio questa:

\displaystyle  7) \, 2a_i2a_{i+1}-(a_{i+1}-a_i)^2 = 2a_{i+1}a_{i+2}-(a_{i+2}-a_{i+1})^2

(sostituendo \displaystyle \, a \, con \displaystyle \, b \, si ha quella corrispondente ai numeri \displaystyle \, b_i).

----------
Per provare la (7) si potrebbe procedere così:
\displaystyle {\tex\footnotesize (a_{i+2}-a_{i+1})^2-(a_{i+1}-a_i)^2=2a_{i+1}a_{i+2}-2a_ia_{i+1}}
\displaystyle {\tex\footnotesize (a_{i+2}-a_i)(a_{i+2}-2a_{i+1}+a_i)=2a_{i+1}(a_{i+2}-a_i)}
e in effetti si riconosce che:

\displaystyle {\tex\footnotesize a_{i+2}-2a_{i+1}+a_i=2a_{i+1}
è una conseguenza della (5).
----------

Pertanto, poiché \displaystyle \, 2a_0a_1-(a_1-a_0)^2 = 3 \, , sarà anche:

\displaystyle 7a) \, 2a_ia_{i+1}-(a{i+1}-a_i)^2 = 3 \, .

Un'altra interessante relazione può essere stabilita osservando quanto segue.
Se nella

\displaystyle a_i = 4b_{i-1}-a_{i-2}

si sostituisse \displaystyle \, a_{i-1} \, con \displaystyle \, 4a_{i-2}-a_{i-3} \, , si avrebbe:

\displaystyle a_i = 4(4a_{i-2}-a_{i-3})-a_{i-2} = (4\cdot 4-1)a_{i-2}-4a_{i-3} = 15a_{i-2}-4a_{i-3}

Operando nello stesso modo con \displaystyle \, a_{i-2} \, e in seguito con \displaystyle \, a_{i-3}, \, a_{i-4} etc.,
si avrebbe ancora:

\displaystyle a_i = 15(4a_{i-3}-a_{i-4})-4a_{i-3} = (4\cdot 15-4)a_{i-3}-15a_{i-4} = 56a_{i-3}-15a_{i-4} \\  a_i = 56(4a_{i-4}-a_{i-5})-15a_{i-4} = (4\cdot 56-15)a_{i-4}-56a_{i-5} = 209a_{i-4}-56a_{i-5} \\ a_i = 209(4a_{i-5}-a_{i-6})-56a_{i-5} = (4\cdot 209-56)a_{i-5}-209a_{i-6} = 780a_{i-5}-209a_{i-6}

etc.

Si vede subito che i coefficienti che compaiono nel secondo membro non sono altro
che elementi consecutivi della successione dei \displaystyle \, b_i \,, dal momento che essi obbediscono
alla regola di formazione (6) a partire da 1 e 4.

Ciò dimostra direttamente che:

\displaystyle  8 ) \, a_i = a_{i-h}b_{h+1}-a_{i-h-1}b_h

dove \displaystyle \, i-1 \ge h \ge 0 \,.

Quest'ultima relazione, per \displaystyle \, i-h = h+1 \, , diventa:

\displaystyle  9) \, a_{2h+1} = a_{h+1}b_{h+1}-a_hb_h


Ecco, la (9) può aiutare a dimostrare il problema di Apritisesamo.

Infatti, sostituendo \displaystyle \, b_h \, e \displaystyle \, b_{h+1} \, , nell'ordine, in base alla (1) e alla (4),
si trova:

\displaystyle  a_{2h+1} = \frac {2(a_{h+1}-a_h)^2+2a_ha_{h+1}} {3} \,.

D'altra parte, però, per la (7a) è:

\displaystyle 2a_ha_{h+1} = (a_{h+1}-a_h)^2+3

e allora:

\displaystyle  a_{2h+1} = (a_{h+1}-a_h)^2+1

Questo significa che i termini \displaystyle \, a_i \, con \displaystyle \, i \, dispari seguono sempre di un'unità un numero
quadrato e quindi \displaystyle \, a_i-1 \, (che corrisponde alla lettera \displaystyle \, m \, di Apritisesamo) in tali casi
è un quadrato.

;) Bruno

_Bruno

Messaggio da _Bruno » gio gen 12, 2006 4:00 pm

...

Dunque, richiamando l'impostazione di Apritisesamo, si è appena verificato che:

\displaystyle 1+(a_r-a_{r-1})^2+b_{2r-1}\cdot \sqr {3} = (2+\sqr {3})^{2r-1}

con \displaystyle \, r \, intero e positivo, mentre \displaystyle \, a \, e \displaystyle \, b \, provengono dalle due successioni costruite
all'inizio del messaggio precedente.

Fra tali successioni esiste pure la relazione:

\displaystyle a_i^2-3b_i^2 = 1

(che non è difficile dimostrare, anche per mezzo dei risultato esaminati sopra).

Questo vuol dire che l'equazione:

\displaystyle x^2-3y^2 = 1

ammette infinite soluzioni intere.

Al contrario, NON si può dire la stessa cosa per l'equazione:

\displaystyle x^2-3y^2 = -1 \, ,

la quale, infatti, non ammette soluzioni intere, nemmeno una.

Chi vuole dimostrarlo?

Un saluto a tutti!

;) Bruno

Bruno
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Messaggio da Bruno » gio gen 12, 2006 4:03 pm

.: Fine del recupero :.


Il primo post è del 25 maggio 2005, mentre l'ultimo è dell'11 ottobre 2005.

Il quesito conclusivo, quello riguardante l'equazione \displaystyle \, x^2-3y^2 = -1 \,, è stato
successivamente riproposto in un nuovo topic e risolto da Pasquale:

http://www.base5forum.it/viewtopic.php?t=136


.........
Bruno

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