R: Numeri buoni

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Quelo
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R: Numeri buoni

Messaggio da Quelo » ven giu 23, 2006 4:46 pm

Dalla sezione "Aritmetica russa"

Numeri buoni

Chiamiamo "buono" un numero di 2n cifre se è un quadrato perfetto e i numeri formati dalle sue prime n cifre e dalle sue ultime n cifre sono anche quadrati perfetti.
a) Trovare tutti i numeri "buoni" di 2 e di 4 cifre.
b) Esiste un numero "buono" di 6 cifre?
c) Dimostrare che esiste un numero "buono" di 20 cifre.
d) Dimostrare che esistono almeno 10 numeri "buoni" di 100 cifre.
e) Dimostrare che esistono numeri "buoni" di 30 cifre.

_____________________

a) 49 e 1681

b) Sì ne esistono 3: 144400, 225625 e 324900

c) E' possibile dimostrare che, dato n intero, se prendiamo un numero di 4n cifre così composto:

prima parte: (\frac{10^n}{2}-1)^2

seconda parte: (10^n-1)^2

esso è il quadrato di un numero intero:

((\frac{10^n}{2}-1)^2)10^{2n}+(10^n-1)^2

((\frac{10^{2n}}{4}-10^n+1))10^{2n}+(10^{2n}-2*10^n+1)

\frac{10^{4n}}{4}-10^{3n}+10^{2n}+10^{2n}-2*10^n+1

\frac{10^{4n}}{4}-10^{3n}+2*10^{2n}-2*10^n+1=(\frac{10^{2n}}{2}-10^n+1)^2

di conseguenza esiste almeno un numero buono per ogni numero di cifre multiplo di 4 (e quindi sia 20 che 100)

Questo è il mio limite "matematico", per la d) e la e) faccio una previsione empirica

Questi sono i primi 30 numeri buoni

49; (7) - [2/3]
1681; (41) - [4/9]
144400; (380) - [12/20]
225625; (475) - [15/25]
324900; (570) - [18/30]
24019801; (4901) - [49/99]
1587624025; (39845) - [126/155]
2371690000; (48700) - [154/300]
2528178961; (50281) - [159/281]
3132976729; (55973) - [177/277]
5198410000; (72100) - [228/100]
6350496100; (79690) - [252/310]
8122515625; (90125) - [285/125]
249001998001; (499001) - [499/999]
10547295475600; (3247660) - [1027/2340]
12232366350400; (3497480) - [1106/2520]
14042257290000; (3747300) - [1185/2700]
15976968294400; (3997120) - [1264/2880]
18036499363600; (4246940) - [1343/3060]
23073612250000; (4803500) - [1519/1500]
25027247420176; (5002724) - [1582/2724]
36633966760000; (6052600) - [1914/2600]
48092491265625; (6934875) - [2193/1125]
58660847767369; (7659037) - [2422/2787]
61009002802276; (7810826) - [2470/1674]
81054099030025; (9003005) - [2847/3005]
85497762250000; (9246500) - [2924/1500]
92294449000000; (9607000) - [3038/3000]
1466124176580001; (38290001) - [3829/8751]
2499000199980001; (49990001) - [4999/9999]

Sembrerebbe che il numero di buoni aumenta con il numero delle cifre, quindi dovrebbe essercene almeno 1 di 30 cifre e 10 di 100.

In particolare abbiamo, per numeri buoni di 2n cifre:

n = 1,2 -> buoni = 2 (rapporto 1/1)
n = 3,4 -> buoni = 4 (rapporto 3/1)
n = 5,6 -> buoni = 8 (rapporto 7/1)
n = 7,8 -> buoni = 16 (rapporto 14/2)

Quantomeno curioso, peccato che di numeri buoni di 18 cifre ne ho trovati 38 (invece dei 28 attesi).

Tuttavia mi sento di formulare due congetture:

Prima Congettura di Quelo sui numeri buoni:
"Dato n intero positivo, l'insieme dei numeri buoni di 4n e 2(2n-1) cifre contiene almeno 2n elementi"

Seconda Congettura di Quelo sui numeri buoni:
"Dato n intero positivo, esiste almeno un gruppo di due o più numeri buoni di 2^{n+1} cifre che hanno lo stesso rapporto tra la radice quadrata della prima parte e la radice quadrata della seconda parte"
Sergio

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