R le nove palline e labilancia romana

Forum dedicato ai quesiti irrisolti presenti nella collezione di Base5, nel vecchio forum ed in quello attuale.

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jepa
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R le nove palline e labilancia romana

Messaggio da jepa » ven apr 07, 2006 3:50 pm

Salve a tutti, mi chiamo Davide e vorrei provare a dare risposta a questo quesito che ho letto stamane tra gli irrisolti della collezione

Le 9 palline e la bilancia romana

Abbiamo 9 palline che sembrano identiche.
Però non lo sono: una di esse ha un peso diverso dalle altre. Non sappiamo qual è e neppure se è più pesante o più leggera.
Abbiamo, inoltre, una bilancia romana, che ha un solo piatto e indica in grammi i pesi degli oggetti.
La domanda è: come facciamo per scoprire la pallina diversa con 3 pesate?

Allora io farei così:
Chiamiamo A B C D E F G H I le nove palline

1) Pongo sulla bilancia per la prima pesata le palline
ABCDE e leggo la pesata chiamandone il peso X

2) poi pongo per la seconda pesata le palline
BCFG e leggo la pesata chiamandone il peso Y

e faccio una prima verifica, se Y = 4/5X allora la sfera diversa è H o I e basta pesarne una per vedere se il suo peso è 1/5 di X altrimenti è l'altra

se Y è diverso da 4/5 di X proseguo escludendo le sfere H e I ovviamente.

3) per la terza pesata pongo le biglie
B D F e leggo la pesata chiamandone il peso Z

e avrò che se Z= 3/5 di X allora la sfera diversa è per ovvie ragioni G
se Zda 3/5 di X allora proseguo il ragionamento e considero che:

Se X-Y = Y-Z allora la sfera diversa è per forza B (l'unica che compare in tutte e 3 le pesate)
Se X-Y Y-Z ragiono così:

1) Se la sfera diversa fosse D deve essere X-Z=Y/2 (basta fare la prova dando alla sfera diversa il valore k e a tutte le altre il valore J) ed è facile vedere che vale il viceversa.
2) Se la sfera diversa fosse F deve essere Y-Z=X/5 e vale il viceversa
3) Se la sfera diversa fosse G deve essere Z=3/5X e vale il viceversa
4) Se la sfera diversa fosse A deve essere Z=3/4Y e vale il viceversa
5) Se la sfera diversa fosse C deve essere X-Y=1/3Z e vale il viceversa
6) Se la sfera diversa fosse E deve essere Y-Z=1/4Y e Y-Z=1/3Z e vale il viceversa.

Spero di aver valutato tutte le alternative,aspetto commenti e saluto gli utenti del forum. :D

Pasquale
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Messaggio da Pasquale » dom apr 09, 2006 1:40 pm

Mi sono fermato subito dopo il 2), perché la strategia usata ti fa individuare la pallina fasulla, ma non hai detto se è più pesante o più leggera, dato che penso sia necessario individuare.
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Messaggio da jepa » dom apr 09, 2006 3:23 pm

Mmm non viene richiesto di individuare se è più pesante o più leggera,ma solo di indicare quella diversa.
In tutta sincerità non so se sia possibile con sole 3 pesate individuarne pure il peso.
Saluti.

Pasquale
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Messaggio da Pasquale » lun apr 10, 2006 1:22 pm

Si scusa, effettivamente mi sembra impossibile: lo dicevo, perché normalmente in questo tipo di problema si richiede sempre tutto... dunque continuerò a studiare la tua soluzione. Ciao
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Messaggio da Pasquale » lun apr 10, 2006 10:55 pm

Bellissima impostazione: penso che non vi sia altra strada, anche se (forse mi sbaglio) mi pare che i viceversa del 4) e del 6) siano in entrambi i casi A ed E.
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Messaggio da Pasquale » dom apr 16, 2006 9:32 pm

Mmmm, ho provato e riprovato, ma mi sa che per questa strada non si arriva...manca sempre un tantino; chissà che nel testo non manchi qualcosa?
Forse ci vuole qualche idea nuova.
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Messaggio da jepa » lun apr 17, 2006 12:24 pm

Hem scusa, ma a cosa non si arriva?
Non è forse valida come soluzione?
Non ho capito, cosa intendi che per questa strada non ci si arriva?

jepa
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Messaggio da jepa » lun apr 17, 2006 12:30 pm

Ah si hai ragione le condizioni 4 e 6 sono equivalenti, mmm allora ci studio ancora un pò!

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Messaggio da bautz » mer set 27, 2006 10:41 am

Credo sia impossibile trovare la pallina di peso diverso tra 9 palline con 3 pesate su bilancia graduata (proprio per l'indeterminabilità tra A ed E).
Con 8 palline il gioco riesce, e con 7 si riesce anche a dire se è più leggera o più pesante.
la matematica è un opinione

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Re: R le nove palline e labilancia romana

Messaggio da fabtor » gio mag 13, 2010 9:39 am

x bautz:

Sei sicuro che per 8 e 7 palline si possa risolvere?

O mi manca qualcosa o mi sembra che il problema di fondo sia che ti servano almeno 2 pesate per fare un confronto e l'ultima pesata non riesce cmq ad essere risolutiva per gruppi maggiori di 2 ...

Come hai risolto i casi più semplici?
A me pare che il fattore limitante di questi problemi sia il fatto che non sapendo se la pallina diversa sia più pesante o più leggera quando confronti 2 gruppi di palline che non rispecchiano i rapporti implicati dalla condizione che la pallina diversa non sia in quei gruppi non puoi discriminare in quale gruppo essa si trovi.

Grazie.

P.S. io al massimo sul problema delle 9 palline sono riuscito ad individuare il peso della pallina diversa e se pesa di più o di meno delle altre.
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: |e^{-i\pi}|...

Pongo y = x^{2} quindi y=\frac {x^{2}}{pongo}
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]

Il vero gnomone aureo: http://thumbs.dreamstime.com/z/gnomo-de ... 526933.jpg

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Re: R le nove palline e labilancia romana

Messaggio da bautz » ven mag 14, 2010 10:19 pm

Sinceramente non mi ricordo che ragionamento avevo fatto...sono passati quasi 4 anni!
Ho ripreso a pensarci comunque, il quesito mi piace molto.
Non mi è chiaro perché ho scritto che con 8 palline si trova quella diversa ma senza sapere se pesa più o meno... probabilmente avevo preso in considerazione qualcosa che al momento mi sfugge...
la matematica è un opinione

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Re: R le nove palline e labilancia romana

Messaggio da fabtor » sab mag 15, 2010 2:18 pm

Te lo chiedevo perchè io nonostante i miei limiti che mi hanno impedito di trovare una soluzione ai casi citati avevo trovato una strategia per individuare se la pallina diversa pesasse di più o di meno ed anche il peso dei due tipi di palline...

Per buttarla sul ridere la soluzione potrebbe essere questa:

Fabtor con le tre pesate a disposizione non riusce a risolvere il problema ma scopre i pesi dei due tipi di palline

Fabtor passa l'informazione a Bautz

Bautz con le tre pesate individua la pallina diversa :mrgreen:
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: |e^{-i\pi}|...

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Re: R le nove palline e labilancia romana

Messaggio da fabtor » lun mag 17, 2010 2:05 pm

Premessa: Forse ho trovato una soluzione (anche se un po' astrusa) al problema, ma per non rischiare che mi tiriate troppi pomodori preferisco perdere un po' di tempo a raccontarvi il ragionamento che ho fatto prima di riportarla.

In primo luogo sono partito da due problemi più semplici correlabili a quello dato cioè il caso in cui si conoscesse se la pallina diversa fosse più pesante o più leggera con una bilancia a due piatti e 9 palline ed il caso più vicino al nostro dove sempre con una bilancia a 2 piatti e 9 palline ce ne sia una diversa ma non si conosce se pesa di più o pesa di meno.

Come è noto nel primo caso bastano 2 pesate mentre nel secondo le pesate salgono a tre, ma già dalla seconda pesata si è in grado di stabilire se la pallina diversa pesa di più o di meno.

A questo punto tornando al nostro caso (come già precedentemente accennato in un post precedente) ho osservato che se si usasse una strategia analoga a quella per le bilance a due piatte si andrebbe incontro al problema che per eseguire un solo confronto nel nostro caso servono necessariamente due pesate e di conseguenza con la bilancia romana senza conoscere se quella diversa pesa di più o di meno occorrerebbero un minimo di 6 pesate e conoscendo invece questo dato ce ne vorrebbero 4... comunque troppe.

Quindi risulta banale la considerazione che qualunque sia la strategia da utilizzare essa debba bypassare il vincolo del 1 confronto 2 pesate.

A questo punto ho incominciato a fare qualche esperimento mentale, poi sono passato alla più prosaica carta e penna ed infine ho preso una pesa per alimenti che avevo in cucina e 8 cucchiaini del servizio + quello della pappa di mia figlia (facendo finta di ignorare che pesasse di meno) e ho fatto qualche altra prova 8poche in realtà visto che la pesa per alimenti serviva anche a mia moglie e non volendo fare la fine della pasta sfoglia che aveva appena steso col mattarello ho ritenuto più salutare renderle il maltolto).

Fatto sta che apparentemente non avevo ancora "cavato il classico ragno dal buco"...

Tornando a rimuginarci sopra dopo cena ad un certo punto ho avuto una sorta di "illuminazione dylandogghiana": "quando tutte le ipotesi possibili sono state scartate quella che rimane per quanto sia impossibile è quella giusta".

Quindi per prima cosa sono andato a rileggermi il testo del problema (onde evitare di aver trascurato qualcosa o frainteso qualcosaltro come mio solito) e poi su internet mi sono andato a documentare un po' meglio sulla bilancia romana.

Probabilmente voi sapete già tutto su di essa quindi vi riporto solo quelle informazioni che mi sono state utili:

La bilancia romana o stabena è una bilancia a bracci assimmetrici ad un unico piatto (od in una sua variante con un gancio al posto del piatto) dove sul braccio lungo è presente "il romano" (che è poi il pesetto) da far correre sul braccio stesso per determinare la pesata.

A questo punto la mia illuminazione stava prendendo consistenza: nel testo c'era uno "specchietto per le allodole": il piatto (se volete immaginatevelo di metallo e molto lucido).

Infatti la precisazione che la stabena fosse nella variante ad un piatto è fuorviante: fosse stata a gancio non sarebbe cambiato praticamente nulla se non che le palline per essere pesate sarebbero dovute essere preventivamente introdotte in dei contenitori appositi (magari dei sacchetti), tuttavia la precisazione "ad unico piatto" era stata fatta e quindi doveva esserci uno scopo. Quale? Beh, secondo me lo scopo è quello di farci ritenere la stabena del tutto equivalente ad una pesa ad unico piatto che ci è certamente più famigliare (non credo di sbagliare se congetturo che ognuno di noi, o cmq buona parte di noi, se prova a visualizzarsi questo esperimento lo fa con una pesa ad un piatto piuttosto che con una bilancia romana). Tuttavia l'unica cosa che la nostra pesa e la stabena hanno in comune strutturalmente parlando è proprio quel piatto.

Detto tutto ciò ho ragionato come segue:

1) Prendo le 9 palline e le divido in gruppi di tre
2) Prendo tre scacchetti identici
3) in ogni sacchetto metto un gruppo di palline
4) appendo un sacchetto sul braccio lungo della stabena in modo che esso ed il piatto siano equidistanti dal fulcro e sul piatto metto un secondo sacchetto ===> ho trasformato la mia stabena in una bilancia a due piatti e quindi mi bastano le tre pesate per individuare la pallina diversa e se essa è più pesante o più leggera delle altre.

Certo, non so ne quanto ne a quanti questa soluzione possa piacere, ne quanto da un punto di vista pratico sia facilmente attuabile questa soluzione (alla fine io una stabena l'ho solo vista in fotografia) tuttavia più passa il tempo più più mi convinco che se una soluzione al problema dato ci sia essa debba essere questa, o magari una analoga meglio formalizzata (un esperto di stabene potrebbe trovare che sacchetto e piatto non debbano essere esattamente equidistanti dal fulcro ma in una certa proporzione reciproca per esempio).

Adesso siate clementi, pochi pomodori please... ma, se proprio non volete lesinare, alla peggio mi ci farò un sugo. ;)
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Re: R le nove palline e labilancia romana

Messaggio da bautz » mer mag 19, 2010 9:58 pm

fabtor ha scritto:...appendo un sacchetto sul braccio lungo della stabena in modo che esso ed il piatto siano equidistanti dal fulcro e sul piatto metto un secondo sacchetto ===> ho trasformato la mia stabena in una bilancia a due piatti e quindi mi bastano le tre pesate per individuare la pallina diversa e se essa è più pesante o più leggera delle altre
Sei un genio!
Mi sa cha questa è proprio la soluzione esatta!
Bravo.
fabtor ha scritto:Certo, non so ne quanto ne a quanti questa soluzione possa piacere, ne quanto da un punto di vista pratico sia facilmente attuabile questa soluzione (alla fine io una stabena l'ho solo vista in fotografia) ;)
Io ne ho un paio di stabene, ma non pensavo fosse proprio quella la bilancia romana. Pensavo alla classica bilancia da cucina...

Comunque complimenti, dopo un bel pò di anni si può mettere un bel risolto a questo problema ;)
la matematica è un opinione

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Re: R le nove palline e labilancia romana

Messaggio da fabtor » gio mag 20, 2010 8:26 am

Beh, aspettiamo a cantar vittoria: nella migliore delle ipotesi questa potrebbe essere una soluzione... non è detto che un matematico serio non riesca a trovare una soluzione "canonica" valida anche per le pese ad un piatto, del resto tu stesso (anche se al momento l'hai scordata) sembra che avessi trovato una soluzione per il caso ad 8 ed a 7 palline (soluzioni che a meno di non riutilizzare lo stesso metodo che ho proposto per le 9 palline non sono assolutamente alla portata di un semplice amatore come il sottoscritto).

Cmq grazie per i complimenti (fanno sempre piacere soprattutto quando fatti da qualcuno che ne sa più di te: io sono un semplice biologo con la passione per la matematica che cerca di arrabattarsi per arrivare a fine mese :( ).

P.S. Mi piacerebbe avere un tuo parere (ma anche di tutti gli altri, se ne hanno voglia) anche sulla soluzione da me proposta per il topic "vendo compro vendo": anche se è in antitesi con le soluzioni precedentemente date mi pare che possa funzionare, ma come al solito mi rimetto alle conoscenze di chi la matematica la sa sul serio.
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