R: "Il problema della mitra" - 6. Quadrare il rettangolo

Forum dedicato ai quesiti irrisolti presenti nella collezione di Base5, nel vecchio forum ed in quello attuale.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
_panurgo

R: "Il problema della mitra" - 6. Quadrare il rettangolo

Messaggio da _panurgo » dom mar 26, 2006 8:34 am

GEOMETRIA PIANA E SOLIDA

6. Quadrare il rettangolo

E' possibile ritagliare un qualunque rettangolo in un numero finito di pezzi e ricomporli in modo da formare un quadrato che abbia la stessa area del rettangolo?

Ho trovato un procedimento generale per "quadrare" il rettangolo (senza la pretesa di minimizzare il numero di tagli), ma non sono capace di dimostrare che funzioni sempre (prendetela come una congettura).

Dopo aver costruito sul rettangolo dato ABCD il quadrato AEFG di area corrispondente

Immagine

tolta l'area comune alle due figure (AEHD), il problema si riduce a quello di trasformare il rettangolo EBCH nel rettangolo DHFG di area uguale e di lati diversi.

Per prima cosa, è opportuno notare che il segmento \overline {HC} è necessariamente più corto del segmento \overline {HF}.

Dimostrazione.

Il rettangolo ABCD ha lati a e b con a > b. Il quadrato AEFG ha lato \sqrt {ab}. il segmento \overline {HC} è perciò \sqrt {ab} - b mentre il segmento \overline {HF} è a - \sqrt {ab}.

Posto

\overline {HF} < \overline {HC} \,\Rightarrow \,a - \sqrt {ab} < \sqrt {ab} - b

si ha

a + b < 2 \sqrt {ab}

ovvero

a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 < 0

cioè

a < b

contro l'ipotesi, quindi

\sqrt {ab} - b < a - \sqrt {ab}

q.e.d.
_________________
panurgo

Principio di relatività:
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

_panurgo

Messaggio da _panurgo » dom mar 26, 2006 8:38 am

Si procede quindi ad individuare il punto I tale che \overline {IF} = \overline {HC} e si taglia il rettangolo DHFG lungo i segmenti \overline {IF} e \overline {GI}

Immagine

Spostando i triangoli IHF e DIG sopra il triangolo GIF si ottiene il parallelogramma GIFJ. Tale parallelogramma ha base uguale al lato del rettangolo EBCH: tagliandolo lungo la diagonale minore (\overline {IJ}) e ricomponendolo

Immagine

si ottiene nuovamente un parallelogramma (IFG'J) con base uguale a \overline {HC}.

Immagine
_________________
panurgo

Principio di relatività:
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

_panurgo

Messaggio da _panurgo » dom mar 26, 2006 8:42 am

Il procedimento si ripete fino a che l'altezza del paralleogramma non giace internamente al parallelogramma stesso; si procede quindi a tagliare lungo tale altezza (G'M) e si ricompone il rettangolo G'MI'J', congruente con il rettangolo EBCH

Immagine

Nel caso in cui la diagonale \overline {DF} del rettangolo DHFG sia minore del segmento \overline {HC} si procede a sezionare in modo analogo il rettangolo EBCH

Immagine
_________________
panurgo

Principio di relatività:
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

_panurgo

Messaggio da _panurgo » dom mar 26, 2006 8:53 am

Mi sono detto: "un quadrato è anche un rettangolo, quindi dovrebbe funzionare anche tagliando il parallelogramma con base uguale a \sqrt {ab}".

Ecco il risultato!

Immagine

Mi pare che ci siamo...
_________________
panurgo

Principio di relatività:
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

_panurgo

Messaggio da _panurgo » dom mar 26, 2006 8:54 am

Dopo un po' di riflessione mi sono convinto che così si può "quadrare" qualunque rettangolo tagliandolo in quattro pezzi.

Ecco un esempio con \frac a b  2

Immagine
_________________
panurgo

Principio di relatività:
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

_Luciano

Messaggio da _Luciano » dom mar 26, 2006 8:55 am

E con questo come la mettiamo?

Immagine
_________________
Ciao.

_panurgo

Messaggio da _panurgo » dom mar 26, 2006 8:56 am

d'accordo, servono più pezzi (comunque, un numero finito).

Si forma il parallelogramma come per il rettangolo rosso in figura

Immagine

e lo si taglia sulla diagonale minore e lo si ricompone fino a che l'altezza non è interna al parallelogramma stesso (vedi sopra)

Forse Luciano ha voglia di dirci qual è il massimo valore di \frac a bper cui vale il sezionamento in quattro parti
_________________
panurgo

Principio di relatività:
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

_panurgo

Messaggio da _panurgo » dom mar 26, 2006 9:04 am

panurgo ha scritto:
Forse Luciano ha voglia di dirci qual è il massimo valore di \frac a b per cui vale il sezionamento in quattro parti

Anzi no, ve lo dico io

Immagine

I triangoli EBC e CC'D sono simili per cui

\frac y l = \frac x b = \frac{\sqrt{b(a-b)}}{b}=\sqrt{\frac a b - 1}

La parte intera di \frac y l corrisponde al numero di volte che si rende necessario tagliare il parallelogramma lungo la diagonale minore quindi, il sezionamento in quattro si può fare fino a che

\frac y l \leq 2 \Rightarrow \frac a b \leq 5

Da queste considerazioni si vede anche che il numero di sezionamenti è sempre finito (anche se, con questo metodo cresce molto rapidamente) tranne che per \frac a b \rightarrow \infty
_________________
panurgo

Principio di relatività:
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Admin
Amministratore del sito
Amministratore del sito
Messaggi: 771
Iscritto il: mer apr 20, 2005 2:47 pm
Località: Benevento

Messaggio da Admin » dom mar 26, 2006 9:05 am

Fine recupero.
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net

Rispondi