R: "Il problema della mitra": 6. Quadrare il rettangolo

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panurgo
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R: "Il problema della mitra": 6. Quadrare il rettangolo

Messaggio da panurgo » dom dic 11, 2005 12:18 am

Dalla sezione "Il problema della mitra"

6. Quadrare il rettangolo

E' possibile ritagliare un qualunque rettangolo in un numero finito di pezzi e ricomporli in modo da formare un quadrato che abbia la stessa area del rettangolo?
Sì!





















Eh? Come? Volevate la dimostrazione? Siete sicuri? Proprio? E va bene, ma non dite che non vi avevo avvertito.

Cominciamo con il metterci d’accordo: è dato un rettangolo di lati a e b, con a > b (se a  2

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Per trovare il quadrato di area uguale (I° teorema di Euclide) si riporta il lato b sul segmento \overline {\rm CD}

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si trova l'intersezione tra il semicerchio da {\rm C} a {\rm D} e la perpendicolare ad a per {\rm E}

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il segmento \overline {\rm CF} è il cateto, di cui b è la proiezione su \overline {\rm CD} (l'ipotenusa del triangolo rettangolo {\rm CFD})

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si riporta la distanza \overline {\rm CF} sul segmento \overline {\rm AB} e si traccia il segmento \overline {\rm CG} che è il secondo lato del quadrato

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si traccia la perpendicolare a \overline {\rm CF} in {\rm F} e a \overline {\rm CG} in {\rm G} individuando così il quarto vertice del quadrato, {\rm H}, e si tracciano gli altri due lati

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Incidentalmente, si noti che la perpendicolare in {\rm F} passa per il punto {\rm D}: come deve, essendo \overline {\rm DF} l'altro cateto.

Procedendo con il sezionamento, di determina il punto {\rm I}, intersezione del lato del quadrato con il lato del rettangolo

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si riporta {\rm I} su \overline {\rm CF}

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il punto {\rm D’} su \overline {\rm FH}

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e il punto {\rm A’} su \overline {\rm CD}

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si traccia quindi la retta per {\rm D} e {\rm G}

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e si riportano i punti {\rm H} e {\rm I} rispettivamente su \overline {\rm CG} e \overline {\rm AB}

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Il trapezio {\rm AGID} è congruente con il trapezio {\rm A’}{\rm CI’}{\rm D’}

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Il triangolo {\rm GCI} è comune alle due figure

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Il quadrilatero {\rm I”}{\rm BCH’} è congruente con il quadrilatero {\rm IA’}{\rm DH}

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Ed infine, il triangolo {\rm G’}{\rm I”}{\rm H’} è congruente con il triangolo {\rm D’}{\rm I’}{\rm F}.

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Consideriamo ora un valore di r  0\quad \forall i > 0 e quindi esiste sempre una sola radice reale (ma come numero magico, te lo raccomando!)

r = - \frac{2}{3}\left( {i + 1} \right) + \sqrt[3]{{ - \frac{{2\left( {i + 1} \right)^3 + 18\left( {i + 1} \right) - 27}}{{54}} - \sqrt {\frac{{\left[ {2\left( {i + 1} \right)^3 + 18\left( {i + 1} \right) - 27} \right]^2 }}{{2916}} - \frac{{\left[ {\left( {i + 1} \right)^2 - 3} \right]^3 }}{{729}}} }} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \sqrt[3]{{ - \frac{{2\left( {i + 1} \right)^3 + 18\left( {i + 1} \right) - 27}}{{54}} + \sqrt {\frac{{\left[ {2\left( {i + 1} \right)^3 + 18\left( {i + 1} \right) - 27} \right]^2 }}{{2916}} - \frac{{\left[ {\left( {i + 1} \right)^2 - 3} \right]^3 }}{{729}}} }}

Fine della digressione!

Oh! Una volta quadrato il rettangolo, è gioco facile "rettangolare" il quadrato. Ho scelto un esempio facile: l = 10, a = 20 , b = 5 , r = 4.

Dato il quadrato

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si traccia la retta passante per i puniti {\rm C} e {\rm D} e si trova l’intersezione con una circonferenza di raggio a

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si traccia il segmento \overline {\rm BE} che è il primo lato del rettangolo

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si tracciano, per {\rm E} la perpendicolare e per {\rm A} la parallela al segmento \overline {\rm BE} (le due rette si intersecano in {\rm F}, terzo vertice del rettangolo) e si traccia il segmento \overline {\rm EF}, secondo lato del rettangolo.

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si traccia quindi, per {\rm B} la perpendicolare al segmento \overline {\rm BE}, si trova il quarto vertice del rettangolo e si tracciano gli ultimi due lati.

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Il sezionamento procede analogamente a quello del rettangolo e il risultato è

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Carino, no?
il panurgo

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"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

0-§
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Messaggio da 0-§ » lun dic 12, 2005 8:03 pm

Un plauso sincero a Panurgo,che verrà insignito-virtualmente,ma come é noto basta il pensiero-della maxicoppa "Giuliano Ciccioferrara"(dal nome dell'ideatore) di gelato da sei etti del ristorante "Il tavolaccio",con ricovero in ospedale e prognosi (della spensierata gastrite fulminante che solo il cibo di quel tugurio può produrre)offerti dall'ameno localino.
Anche la celebre "Patacca" al valore verrà prontamente recapitata via posta.
Se Panurgo non verrrà stroncato dalla sapiente ricetta del "Tavolaccio" provvederò a fargli avere le Fiesta schiacciate della mia prof di Latino e Greco(dovrebbro dare una morte indolore).
Scusate le orribili battute,e seriamente i miei complimenti a Pan per tutto quel ben di Dio prodotto e servito per noi.
Salute!
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

Bruno
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Messaggio da Bruno » mar dic 13, 2005 4:35 pm

...

Mi unisco immediatamente a questi complimenti.
E' davvero mirabile l'esplorazione di Panurgo ---
In genere, l'ho scritto anche nel precedente forum (quello da poco sparito), gli
interventi di Panurgo mi piacciono moltissimo e spero che ora sia possibile
conservarli, non perderli, per coloro che non li hanno ancora visti e per quelli
- come me - che vorrebbero poterli riammirare (il tempo è poco, a volte, e va
di corsa!).
;) Bruno

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