R: Il problema del barattolo perfetto

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

_Nicola

R: Il problema del barattolo perfetto

Messaggio da _Nicola » lun dic 26, 2005 6:32 pm

Vorrei rivolgere, innanzitutto, un saluto a tutti gli utenti di questo Forum.

Non so se il problema è già stato postato: dimensionare un barattolo cilindrico per conserve con un volume dato V e raggio r in modo che contenga più conserva possibile con il minimo dispendio di latta stagnata.

P.S. Complimenti per il sito molto accattivante e l'ottimo Forum.

_Tino

Messaggio da _Tino » lun dic 26, 2005 6:40 pm

Mi pare che fosse un esercizio del tema d'esame di quest'anno. A volume fissato V, la superficie totale S è minima quando l'altezza è due volte il raggio di base, e si dimostra dalla relazione h=\frac{V}{\pi r^2}, e dalla relazione S=2\pi r(r+h), ottenendo quindi S=2\pi r(r+\frac{V}{\pi r^2})=2\pi(r^2+\frac{V}{\pi r}), e quindi:
\frac{dS}{dr}=4 \pi r-\frac{2V}{r^2} \ge 0 se e solo se r^3 \ge \frac{V}{2 \pi} se e solo se r \ge \sqr[3]{\frac{V}{2 \pi}}.
Quindi r_0=\sqr[3]{\frac{V}{2 \pi}} corrisponde all'unico minimo della funzione S (minimizza la superficie totale a volume dato), e per tale valore di r

h_0=\frac{V}{\pi r_0^2}=\frac{V}{\pi}\sqr[3]{\frac{4 \pi^2}{V^2}}=\sqr[3]{\frac{8V}{2 \pi}}=2\sqr[3]{\frac{V}{2 \pi}}=2r_0
Ciao

Ospite

Messaggio da Ospite » lun dic 26, 2005 6:41 pm

Tino ha scritto:Mi pare che fosse un esercizio del tema d'esame di quest'anno.
Copio e incollo il quesito ministeriale:
"Una bevanda viene venduta in lattine, ovvero contenitori a forma di cilindro circolare retto, realizzati con fogli di latta. Se una lattina ha la capacità di 0,4 litri, quali devono essere le sue dimensioni in centimetri, affinché sia minima la quantità di materiale necessario per realizzarla? (Si trascuri lo spessore della latta)."

Effettivamente, anche se lievemente differenti nella forma, i due problemi sono uguali nella sostanza, e la soluzione di Tino è corretta. Ma come accade spesso per le astrazioni della matematica tale soluzione, il sogno dei conservieri, in pratica, non si può realizzare perché un barattolo di conserva necessita di un quantitativo di latta un pochino superiore: quello necessario per saldare le basi circolari alla parete laterale. Dunque il barattolo reale non coincide mai con quello ideale! :wink:

O$pite

Messaggio da O$pite » lun dic 26, 2005 6:43 pm

Quando Infinito precisa, è preciso e fa sempre piacere leggerlo. :D :lol:

_delfo52

Messaggio da _delfo52 » lun dic 26, 2005 6:43 pm

si potrebbe aggiungere una seconda parte al problema, ipotizzando barattoli per uso casalingo entro 24 ore; in questo caso non serve il "coperchio", ovvero basta aggiungere una sola base.
Cambia qualcosa?
Enrico

_Luciano

Messaggio da _Luciano » lun dic 26, 2005 6:43 pm

Certo che cambia!

Rifacendo i calcoli si trova:

h=r

Ciao.

_infinito

Messaggio da _infinito » lun dic 26, 2005 6:44 pm

In riferimento a «Quando Infinito precisa, è preciso e fa sempre piacere leggerlo» trovo che non posso fare a meno di precsare, dal momento che non avevo ancora scritto (e visto) niente di questo quesito.

1ª precisazione
Vado a memoria, ma mi pare che solo la superficie superiore sia saldata (o meglio: "ribattuta"), mentre quella inferiore è fatta con un unico stampo (ma potrei ricordarmi male)

2ª (e più importatnte) precisazione
mi pare che il problema principale (che porta ad avere lattine con altezza molto superiore al diametro di base) non sia quelllo della salsatura, ma il fatto che lo spessore necessario per la superficie laterale è molto minore di quello per le basi, che, inoltre, vengono fatte con una forma derivante da una calotta sferica per ridurllo ulteriormente.
É intreressante anche notare che tali calotte sono una concava e una convessa (vado ancora a memoria ...), mentre generalmtente i contenitori ad alta pressione sono formati da un cilindro con due semisfere convesse (o superfici "analoghe) sulle due basi (bombola del gas, serbatoi dei camion, serbatoi vari, bottiglie di acqua casata, ecc.).
Il motivo di questa differenza è evidente: la lattina deve stare in piedi, ed i costruttori (e soprattutto i disegnatori) devono tenerne conto: le prime bottiglie di acua gasata avevano tale forma, ma c'era un pezzo di plastica (colorata aggiunto alla base per permetterne la "stazione eretta" (chi se lo ricorda? - la struttura non era poi così diversa da quella della bobola del gas - per l'acqua non gasata ("di marca") la forma della bottiglia generalemtne è ben diversa ...); le bottiglie attuali sono fatte in un unico stampo, ma la forma della base è molto più complessa (e spessa, ma credo che sia abbasta facile e "naturale" avere uno spessore maggiore per la base e/o per la parte col tappo) e ha diverse superfici "a sella".

3ª precisazione
SArebbe interessante sapere se c'è qualche ingegnere (io sono soprattutto un "teorico") che conosce gli spessori delle superfici che permettono di resistere ad una certa pressione; se si può risolvere il problema delle dimensiono che permettono di avere il minimo quantitativo di materiale, e di vedere se si trova che tali dimensioni sono davvero quelle delle lattine (da 0,33 cl) che si trovano in commercio.


Sperando di essere stato "piacevole da leggere" (???) vi lascio a questo ben più difficile esercizio


(Ma tale problema non era già stato postato "anni fa"?)

_Nicola

Messaggio da _Nicola » lun dic 26, 2005 6:46 pm

O$pite ha scritto:Quando Infinito precisa, è preciso e fa sempre piacere leggerlo.
Come giustamente è già stato precisato, la replica non era di Infinito ma mia (in maniera anonima per non aver fatto il login). Me ne scuso con tutti! :oops:

_Alex

Messaggio da _Alex » lun dic 26, 2005 6:46 pm

Volevo giusto far notare che il problema proposto coincide praticamente con il seguente problema di Rudi Mathematici:

Problema per file (Versione maschile)
Nei carburatori delle moto è presente un galleggiante cilindrico che era realizzato in ottone.
Dovendo questo galleggiare ci si chiede: a parità di volume, qual'è il più leggero?

Mentre la variante di Delfo (cioè togliere il coperchio) coincide con:
Problema per file (Versione femminile)
Si richiede di calcolare il rapporto tra l'altezza e il diametro di una casseruola
in modo tale che a parità di spessore della parete e di volume
venga minimizzato l'impiego di metallo.

RM06 del luglio 1999 (soluzione pubblicata su RM07).
Lo dico perché ritengo possa essere interessante confrontare le vostre soluzioni con quelle pubblicate da Rudy.

Il problema a quanto ne dice Rudy, è del 1936,
ed è tratto dal libro "Il calcolo differenziale ed integrale reso facile ed attraente"

Ciao a tutti

_Nicola

Messaggio da _Nicola » lun dic 26, 2005 6:47 pm

Alex ha scritto:Volevo giusto far notare che il problema proposto coincide praticamente con il seguente problema di Rudi Mathematici:...

RM06 del luglio 1999 (soluzione pubblicata su RM07)...
Lo dico perché ritengo possa essere interessante confrontare le vostre soluzioni con quelle pubblicate da Rudy.

Il problema a quanto ne dice Rudy, è del 1936,
ed è tratto dal libro "Il calcolo differenziale ed integrale reso facile ed attraente"

E' veramente molto istruttivo scoprire quante "sfaccettature" abbia questo problema di minimo, ed assai interessante sarebbe poter confrontare le varie soluzioni. Grazie Alex per il contributo alla discussione.

_peppe

Messaggio da _peppe » lun dic 26, 2005 6:48 pm

[...]"Il calcolo differenziale ed integrale reso facile ed attraente"[...]

Autore ing. Gustavo Bessière
Editore HOEPLI

La Sedicesima Edizione a cura del Dott. Ing.Carlo Rossi (che possiedo)dedica ben 25 pagine (da pag. 96 a pag.120) a I più attraenti problemi sui massimi e minimi. Ossia l'intero capitolo IX ,che per me è il più bello, e sarebbe bellissimo se i problemi potessero essere publicati sul forum.

Penso che la cosa sia realizzabile grazie alle nuove possibilità offerte dal forum, e alle risorse infinite che alcuni basecinquini dimostrano di avere:i "maestri della grafica" potrebbero modificare e abbellire i disegnini che si trovano sul libricino del Bessière.

_peppe

Messaggio da _peppe » lun dic 26, 2005 6:51 pm

56-PROBLEMA DEL CARBURATORE
In un carburatore si trova,in generale,un galleggiante cilindrico,vedi figura, d’ottone stampato,che deve essere leggero quanto è possibile per un volume dato.
Lo spessore dell’ottone essendo uniforme,il peso è proporzionale alla superficie; bisogna quindi diminuire la superficie più che si può. Il problema si pone così:

Di tutti i galleggianti cilindrici che hanno lo stesso volume quali sono le dimensioni di quello che avendo la superficie minima è per conseguenza il più leggero?

r = raggio
h = altezza

Ciao.

Immagine :wink:

_peppe

Messaggio da _peppe » lun dic 26, 2005 6:53 pm

55 - PROBLEMA DEL SEGMENTO
Omaggio a FERMAT

Sia da dividere il segmento AC in E , in modo che AE x EC sia massimo. Vedi figura.

Ciao. :wink:

Immagine

_peppe

Messaggio da _peppe » lun dic 26, 2005 6:54 pm

57. PROBLEMA DELLA TRAVE

Quando si vuole squadrare un tronco d’albero in modo da dare alla trave ottenuta la resistenza massima possibile (alla flessione) ci si guarderà bene di farla quadrata,bensì la si farà sempre più alta che larga ,come in figura

Si può calcolare quale è il rapporto che deve esistere fra l’altezza e la base affinché la trave presenti la resistenza massima alla flessione.
Ciao :wink:

Immagine

_peppe

Messaggio da _peppe » lun dic 26, 2005 6:56 pm

58. PROBLEMA DELLA CASSERUOLA
In generale le casseruole di rame o di alluminio che si trovano in commercio hanno una altezza eguale alla metà del loro diametro ed è per risparmiare metallo che i fabbricanti hanno adottato questo rapporto.
Il problema è analogo a quello del galleggiante,ma il risultato è diverso,perché la casseruola e aperta in alto (vedi figura). Saremmo invece nello stesso caso se il fabbricante dovesse fornire un coperchio dello stesso metallo;egli avrebbe allora interesse a fare la casseruola più alta (è il caso della marmitta).
Ciao :wink:

Immagine

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