R: "Il principio dei cassetti" - 8. Somma multipla

Forum dedicato ai quesiti irrisolti presenti nella collezione di Base5, nel vecchio forum ed in quello attuale.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
Admin
Amministratore del sito
Amministratore del sito
Messaggi: 771
Iscritto il: mer apr 20, 2005 2:47 pm
Località: Benevento

R: "Il principio dei cassetti" - 8. Somma multipla

Messaggio da Admin » sab dic 03, 2005 5:42 pm

Admin ha scritto:Dalla sezione "Il principio dei cassetti"

8. Somma multipla

Dati 1000 interi, ne esistono almeno 2 la cui somma o la cui differenza è uguale ad un multiplo di 1997.
Mettiamoci nel caso peggiore;
quindi vogliamo prendere quanti più numeri possibili tali che la loro somma e la loro differenza non sia multipla di 1997;
consideriamo, dunque, un numero intero generico n; indichiamo con 1997*m il multiplo di 1997 immediatamente successivo ad n, e con 1997*(m-1) quello immediatamente precedente;
indichiamo con s1 la differenza tra 1997*m ed n (in pratica, la distanza di n da 1997*m) e con d1 la differenza tra n e 1997*(m-1).
Innanzitutto è chiaro che se ora prendiamo come altro numero s1, la somma di n ed s1 ci da un multiplo di 1997 (e cioè 1997*m);
se prendiamo d1 si ha: n-d1=1997*(m-1); lo stesso vale se scelgo numeri del tipo 1997*k+s1, con k=0,1,2,...,+inf, oppure del tipo 1997*k-d1; per cui, per la nostra condizione iniziale, non dobbiamo sceglierli;
Ciò, in pratica, significa che in ciascun intervallo dei numeri interi naturali, individuato da due multipli consecutivi di 1997, non dobbiamo scegliere, come numeri da inserire nel nostro insieme di 1000 interi, quelli che distano d1 dall'estremo inferiore dell'intervallo, e quelli che distano s1 dall'estremo superiore dell'intervallo.
Per cui, come secondo numero,dopo aver scelto n, prendiamo un numero p qualsiasi, appartenente ad uno di questi (infiniti) intervalli, che non disti d1 dall'estremo inferiore, e che non disti s1 dall'estremo superiore; chiamiamolo p;
Per cui siamo sicuri che la somma n+p o la differenza n-p non da un multiplo di 1997;
ora, analogamente a quanto detto per n, indichiamo con d2 la distanza di p dal multiplo di 1997 immediatamente precedente, e con s2 la distanza di p dal multiplo di 1997 immediatamente successivo; anche in questo caso, per non avere somma o differenza pari ad un multiplo di 1997, non dobbiamo scegliere numeri del tipo 1997*k+s2 o 1997*k-d2, con k=0,1,2,...,+inf;
per cui, a questo punto, in ciascun intervallo di numeri interi naturali, individuato da due multipli consecutivi di 1997, non dobbiamo scegliere i numeri che distano d1 e d2 dall'estremo inferiore, e s1 e s2 da quello superiore.
Per cui, ricapitolando, dopo aver scelto 1 numero intero, già non potevamo scegliere 2 numeri interi in ciascun intervallo individuato da multipli consecutivi di 1997.
Ora, dopo aver scelto 2 numeri interi, non possiamo scegliere 4 numeri in ciascun intervallo;
è chiaro che, andando avanti, per ogni numero scelto, avremo un numero doppio di numeri che non possiamo scegliere;
in particolare, dopo aver scelto il 999° numero intero, avremo che, per evitare che due numeri tra i nostri interi scelti, abbiano somma o differenza pari ad un multiplo di 1997, non possiamo scegliere il doppio di 999, e cioè 1998 numeri di ciascun intervallo individuato da multipli consecutivi di 1997;
ma in ciascun intervallo, comprensivo di un solo estremo, ci sono proprio 1998 numeri; ciò significa che, scegliendo il 1000° numero intero, avremo sicuramente due numeri dei 1000 scelti (tra cui proprio questo 1000° numero) la cui somma o differenza è proprio un multiplo di 1997.
Per cui, nel caso peggiore, possiamo scegliere al massimo 999 numeri tali che la somma o la differenza di due di essi non sia un multiplo di 1997.
Quindi, in un insieme di 1000 interi, ve ne sono sicuramente 2 la cui somma o differenza è un multiplo di 1997.
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net

Rispondi