R: "Esercizi sul principio dei cassetti" - N.32 Cinquecento cassette di mele

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R: "Esercizi sul principio dei cassetti" - N.32 Cinquecento cassette di mele

Messaggio da Admin » ven gen 06, 2006 10:59 am

Admin ha scritto:Dalla sezione "Il principio dei cassetti"

32. Cinquecento cassette di mele

Ci sono 500 cassette di mele. Ciascuna cassetta contiene più di x mele.
Si trovi il minimo valore di x tale che si possa essere sicuri che esistano 3 cassette con lo stesso numero di mele.

C'è un evidente errore nella traccia.
Deve essere "... Ciascuna cassetta contiene meno di x mele. ...",
ed inoltre "...Si trovi il massimo valore di x tale che...".
Infatti se ciascuna cassetta contiene più di x mele, vuol dire che può contenerne un numero qualsiasi, anche infinito e quindi il problema non è risolvibile.

Quindi consideriamo la traccia corretta:
Ci sono 500 cassette di mele. Ciascuna cassetta contiene meno di x mele.
Si trovi il massimo valore di x tale che si possa essere sicuri che esistano 3 cassette con lo stesso numero di mele.
Mettiamoci nel caso peggiore;
esso si ha, utilizzando il numero minimo di mele in modo che ogni cassetta contenga un numero diverso di mele;
quindi mettiamo:

nella 1° cassetta 0 mele
nella 2° cassetta 1 mela
nella 3° cassetta 2 mele
...
...
nella 499° cassetta 498 mele
nella 500° cassetta 499 mele

Quindi, in questo caso, ciascuna cassetta contiene meno di 500 mele e non possiamo essere sicuri che vi siano almeno 3 cassette con lo stesso numero di mele;

ora, se supponiamo che ciascuna cassetta contenga meno di 499 mele; potremo avere, nel caso peggiore:

nella 1° cassetta 0 mele
nella 2° cassetta 1 mela
nella 3° cassetta 2 mele
...
...
nella 499° cassetta 498 mele

ma nella 500° avremo un numero di mele compreso tra 0 a 498, e quindi sicuramente uguale a quello di un'altra delle 500 cassette.
Per cui con x=499 abbiamo sicuramente 2 cassette con lo stesso numero di mele.
Quindi con x=498 abbiamo sicuramente 3 cassette con lo stesso numero di mele.

Admin
Ultima modifica di Admin il gio mag 17, 2007 6:07 pm, modificato 1 volta in totale.
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Re: R: "Il principio dei cassetti"-N.32 cinquecent

Messaggio da franco » ven feb 02, 2007 10:01 pm

Rovistando nei meandri del forum (ci bazzico da poco tempo ed ho ancora tanto da scoprire), ho trovato questo quesito dalla risposta apparentemente semplice che però non mi convince del tutto:
Admin ha scritto:Dalla sezione "Il principio dei cassetti"

.....
Quindi con x=498 abbiamo sicuramente 3 cassette con lo stesso numero di mele.

Admin
potrei benissimo avere:

1^ cassetta = 0 mele
2^ = 1 mela
3^ = 2 mele
...
496^ = 495 mele
497^ = 496 mele
498^ = 496 mele
499^ = 497 mele
500^ = 497 mele

quindi con x = 498 non ho la certezza di avere 3 cassette con lo stesso numero di
mele.

La risposta esatta credo dovrebbe essere x=249 :

1^ = 0
2^ = 0
3^ = 1
4^ = 1
...
496^ = 247
497^ = 248
498^ = 248
e sia la 499^ che la 500^ cassetta non potranno che replicare una delle quantità già contenute nelle precedenti.
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Messaggio da Admin » ven mar 30, 2007 6:28 am

Ciao Franco,
mi accorco solo ora, con colpevolissimo ritardo della tua risposta;
hai perfettamente ragione!
la mia risposta è errata :oops: ;
non avevo considerato la possibilità di più coppie di mele...

Grazie Franco.

Ciao
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Re: R: "Esercizi sul principio dei cassetti" - N.32 Cinquecento cassette di mele

Messaggio da Quelo » ven set 19, 2008 12:14 pm

Premesso che il metodo di risoluzione non cambia, bisognerebbe stabilire se una cassetta vuota può essere considerata una "cassetta di mele" oppure se sia necessario che la cassetta contenga almeno una mela per rientrare in questa classificazione.
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Re: R: "Esercizi sul principio dei cassetti" - N.32 Cinquecento cassette di mele

Messaggio da Pasquale » dom ott 19, 2008 11:28 pm

3 cassette con ugual numero di mele: devono essere proprio 3 o almeno 3 ?
Una sola cassetta contiene al massimo x-1 mele?
Se le metto tutte in una cassetta, ne avrò 499 con lo stesso numero: sono troppe?
Devo scegliere io come e dove metterle, o devono essere sistemate a casaccio?
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Re: R: "Esercizi sul principio dei cassetti" - N.32 Cinquecento cassette di mele

Messaggio da Admin » mar ott 21, 2008 7:19 am

Pasquale ha scritto:3 cassette con ugual numero di mele: devono essere proprio 3 o almeno 3 ?
La traccia lascia intendere che le cassette uguali debbano essere almeno 3.
Pasquale ha scritto:Una sola cassetta contiene al massimo x-1 mele?
Non è detto; la traccia non lo richiede come vincolo.
Pasquale ha scritto:Se le metto tutte in una cassetta, ne avrò 499 con lo stesso numero: sono troppe?
la traccia non impone un limite superiore al numero di mele, quindi vuol dire che le cassette saranno sufficientemente grandi da contenerle.
Pasquale ha scritto:Devo scegliere io come e dove metterle, o devono essere sistemate a casaccio?
Cioè?

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