R: "Dissezioni del quadrato" - 5. Per quali n è possibile dividere un quadrato in n quadra

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panurgo
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R: "Dissezioni del quadrato" - 5. Per quali n è possibile dividere un quadrato in n quadra

Messaggio da panurgo » dom dic 11, 2005 10:24 am

Dalla sezione "Dissezioni del quadrato"

4. Dividere un quadrato in 7 quadrati uguali

5. Per quali n è possibile dividere un quadrato in n quadrati uguali?

Il sezionamento di un quadrato di lato l è possibile per qualunque valore di n (almeno in linea di principio).

Infatti, poiché è possibile sezionare un quadrato per ottenere un qualsiasi rettangolo di base a e altezza b date (vedi http://www.base5forum.it/viewtopic.php?p=476#476), basta prendere a = \sqrt {n} l e b = \frac{l}{\sqrt {n}} dove \frac{l}{\sqrt {n}} è il "latino" (memento: "latino × latino = area del quadratino").

Dato che il sezionamento è tanto più facile quanto più il rapporto r = \frac a b tende all’unità, se n non è primo conviene scomporlo in due fattori p e q e prendere a = p \frac{l}{\sqrt {n}} e b = q \frac{l}{\sqrt {n}} (per p = n e q = 1 si riottengono le espressioni precedenti).

A questo punto bisogna determinare la lunghezza del "latino", \frac{l}{\sqrt {n}}.

A tale scopo (vedi figura) è sufficiente tracciare la parabola con il vertice in {\rm A} e passante per {\rm C} e l’iperbole equilatera, ruotata di 45°, con il vertice in {\rm C} e centro di simmetria in {\rm A}.

Immagine

La prima conica ci consente di ottenere la radice quadrata e la seconda, l’inverso di n.

Prendendo ad esempio n = 2, si traccia sul prolungamento del segmento \overline {\rm AB} il punto {\rm P} distante 2l da {\rm A}

Immagine

si traccia la parallela a \overline {\rm BC} per {\rm P} e si trova il punto {\rm Q}: si ha \overline {\rm PQ} = \frac l n.

Immagine

si traccia ora la parallela a \overline {\rm AB} per {\rm Q} e si trovano i punti {\rm R} e {\rm S}: si ha \overline {\rm RS} = \frac l {\sqrt n}.

Immagine

A questo punto si costruisce il rettangolo ab come specificato sopra (vedi link)

Immagine

e si procede al sezionamento.

Come altro esempio, prendo il sezionamento del quadrato in sette

Immagine

Et voilà! :D
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0-§
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Messaggio da 0-§ » mar dic 13, 2005 10:40 pm

Sul vecchio forum era passato inosservato il mio problema,che non so risolvere:quali quadrati perfetti sono la somma dei primi quadrati perfetti?
Cioé vorrei sapere per quali N la somma
1^2+2^2+3^2+...N^2 é un quadrato perfetto.Cosa succede se pongo la condizione che i vari quadrati siano sì consecutivi,ma non debbano partire da 1^2?Ad esempio,vorrei sapere quali quadrati perfetti sono la somma di tre,sedici,ottomilacentoventiquattro quadrati perfetti(per il Teorema di Fermat-Wiles,obbligatoriamente più di due quadrati)Come si trovano le varie soluzioni?
E infine la domanda da cento milioni:che succede se anziché quadrati uso cubi o potenze quarte?
Qui c'é mezza Teoria dei numeri e credo non esistano risposte generali a queste domande:vorrei solo sapene un pò di più(se conoscete un posticino su Internet per queste domande,dite pure!).
Per il problema 1,aspetto con ansia risposte (dovrebbe essere alla vostra portata)
Saluti,salute e figli baschi(come dicono in Spagna).
Ciao!
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Bruno
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Messaggio da Bruno » gio dic 15, 2005 11:52 am

0-§ ha scritto: Cioé vorrei sapere per quali N la somma
\displaystyle 1^2+2^2+3^2+...N^2 é un quadrato perfetto.
Ciao 0-§! Per quanto ne so, all'inizio del secolo scorso è stato dimostrato
che la somma:

\displaystyle 1^2+2^2+3^2+...+N^2

corrisponde a un quadrato perfetto solo per \displaystyle N = 24 (se si eccettua
il caso N=1) e il risultato è:

\displaystyle 70^2 = 4900.

Non esiste un \displaystyle N \, > \, 24 che goda di questa stessa proprietà.

Non so niente, invece, sulle altre interessanti questioni che proponi.

Diversi anni fa mi è capitato fra le mani un libro che considero ancora molto
istruttivo (peraltro uno dei pochi tradotti in italiano). Se già non lo conosci,
vorrei consigliartelo: si tratta di "Aritmetica Superiore" di H. Davenport, edito
da Zanichelli.

;) Bruno

0-§
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Messaggio da 0-§ » mer dic 21, 2005 5:09 pm

Grazie!Un'altra domanda che mi é sorta:si può coprire il quadrato gigante(di lato 70) completamente e senza tagli con quadratini di lato 1,2,3,...,24?
Se sì,come?Se no,perché?
Bye bye
0-§[/i]
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Pasquale
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Messaggio da Pasquale » mer dic 28, 2005 8:52 pm

Immagine un esempio
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\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

panurgo
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Re: R: "Dissezioni del quadrato" - 5. Per quali n è possibile dividere un quadrato in n quadra

Messaggio da panurgo » dom ott 30, 2011 9:24 am

panurgo ha scritto:
Dalla sezione "Dissezioni del quadrato"

4. Dividere un quadrato in 7 quadrati uguali

5. Per quali n è possibile dividere un quadrato in n quadrati uguali?

Il sezionamento di un quadrato di lato l è possibile per qualunque valore di n (almeno in linea di principio).
Le immagini sono andate perdute! Invece di cercare di ricostruirle mi limiterò a sezionare un quadrato in 21 quadratini.

Dato il quadrato {\text ABCD}

Immagine

tracciamo la retta {\text AB}, la semiretta {\text BC} e dividiamo il lato {\text BC} (per bisezione) in 8 parti

Immagine

Segnamo il punto \text E e lo congiungiamo con il punto a 3/4 sul lato {\text BC}; quindi tracciamo la parallela al segmento passante per il punto a 1/4 individuando così il punto \text F: per il teorema di Talete {\text BE}\/:\/{\text BF}\/=\/3\/:\/1.
Abbiamo misurato {\text BE}

Immagine

Riportata la nostra unità di misura simmetricamente a \text B individuiamo, sempre con Talete, il punto \text G per cui {\text BG}\/:\/{\text BF}\/=\/7\/:\/1 (suona giusto, 3\/\times\/7\/=\/21).

Immagine

E abbiamo dunque {\text BG}\/:\/{\text BE}\/=\/7\/:\/3; tracciamo la semicirconferenza da \text G a \text E e individuiamo il punto \text H: per il secondo teorema di Euclide sui triangoli rettangoli {\text BH} è medio proporzionale tra {\text BG} e {\text BE} ed è quindi il lato del quadrato equivalente al rettangolo di lati {\text BG} e {\text BE} (ecco perché si chiama media geometrica)

Immagine

Tracciamo per {\text C} le parallele a {\text EH} e {\text GH} e individuiamo i punti {\text I} e {\text J}, estremi dei segmenti {\text BI} e {\text BJ} che sono i segmenti di cui il lato del nostro quadrato è medio proporzionale (Talete? Euclide 2?)

Immagine

Puliamo il nostro disegno e osserviamo che abbiamo, {\text BJ}\/:\/{\text BI}\/=\/7\/:\/3, i lati del rettangolo equivalente al nostro quadrato e formato da 21 quadratini.

Immagine

Approfittiamo di questa pulizia per dividere il segmento {\text BJ} in 7 parti: ci servirà dopo

Immagine

L’intersezione della semicirconferenza da {\text B} a {\text C} con la circonferenza di centro {\text B} e raggio {\text BI} individua il punto {\text K} e l’intersezione della perpendicolare a {\text BK} con la circonferenza di centro {\text B} e raggio {\text BJ} il punto {\text M}

Immagine

La ragione di questa costruzione e che in questo modo un lato del rettangolo passa per il punto {\text C} (l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza) e ciò è utile per il sezionamento

Immagine

Tracciando la parallela a {\text BM} passante per il punto {\text L}', simmetrico di {\text L} rispetto a {\text M} tagliamo un triangolo che trasportiamo come indicato il figura

Immagine

La perpendicolare dal vertice del triangolo a {\text BM} taglia un trapezio

Immagine

e un quadrilatero mentre il triangolo comune tra quadrato e rettangolo rimane al suo posto

Immagine

Tutto ciò si dimostra perché tagli sono paralleli ai lati del rettangolo e si ottengono dei parallelogrammi.

Ora non resta che misurare il nostro rettangolo

Immagine

e tagliarlo in 21 quadratini

Immagine

Questo ci dice come deve essere ritagliato il quadrato per ottenere i quadratini desiderati.

Due considerazioni: la prima è che conviene suddividere n in due fattori quanto più possibile uguali; la seconda è che resta da dimostrare che il sezionamento di un quadrato in un rettangolo qualsiasi è sempre possibile (ma questo è un altro topic).

P.S.: tutte queste figure si ridurrebbero ad un solo foglio di lavoro dinamico di GeoGebra che è ciò che ho usato per generarle!
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Re: R: "Dissezioni del quadrato" - 5. Per quali n è possibile dividere un quadrato in n quadra

Messaggio da Admin » mar nov 01, 2011 11:15 am

Ciao Pan,
ce l'hai salvato il foglio di lavoro dinamico?
potresti inviarmelo come allegato?
volevo fare delle prove al fine di permetterne l'inserimento in un post.

Ho provato a generarne qualcuno di test con GeoGebra, ma non ho ancora capito come realizzare animazioni...

Grazie.

Saluti
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Re: R: "Dissezioni del quadrato" - 5. Per quali n è possibile dividere un quadrato in n quadra

Messaggio da panurgo » sab nov 05, 2011 10:24 am

Come promesso ecco la dimostrazione del

Sezionamento di un quadrato in 21 quadratini

Questa è un'Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org - Java non risulta installato sul computer in uso - fare riferimento a www.java.com
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