R: Da rettangolo a quadrato

Forum dedicato ai quesiti irrisolti presenti nella collezione di Base5, nel vecchio forum ed in quello attuale.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

_Luciano

R: Da rettangolo a quadrato

Messaggio da _Luciano » mar gen 03, 2006 4:40 pm

Admin ha scritto:GEOMETRIA PIANA E SOLIDA

Dalla sezione "Dissezioni del quadrato"


6. Trasformare un rettangolo 5 * 1 in un quadrato, tagliandolo in 5 pezzi.
SOLUZIONE

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Ciao.

_delfo52

Messaggio da _delfo52 » mar gen 03, 2006 4:40 pm

la soluzione è molto elegante, e mi costringe ad un aneddoto autobiografico.
Il problema fu posto dalla prof. di matematica a noi ragazzi della 5C (ginnasio). In realtà è some se fosse stato proposto a Marco, Stefano, Carlo e me (gli unici interessati a questo genere di cose).
Ricordo con chiarezza il conciliabolo che intercorse fra di noi, e che ci fece saltare l'intervallo. Fu un autentico "brain storming" in cui ragionavamo tutti a voce alta.
Carlo fu il primo a esprimere il concetto che il lato del quadrato risultante doveva misurare "radice di 5".
Io opinai fosse conveniente "conservare per quanto possibile gli angoli retti esistenti", anche se non si potevano escludere altre soluzioni.
Non ricordo chi disse che "era impossibile trovare o disegnare un segmento lungo "radice di 5".
Marco ebbe l'intuizione folgorante "ma radice di 4+1 si può !"
Il resto fu un gioco da ragazzi.
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Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)

_0-§

Messaggio da _0-§ » mar gen 03, 2006 4:41 pm

§e n0n §bagli0 un pr0blema anc0ra irri§0lt0 di ba§e5 é §c0mp0rre un rettang0l0 qual§ia§i per f0rmare un quadrat0...
La §0luzione c'é di §icur0,ma qual'é?
0-§
(Bella la grafia,eh?)
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La matematica é il grande inganno.Fate un esame di coscienza e rispondete:quando é stata l'ultima volta che avete sentito il bisogno di calcolare una mantissa?(D.Luttazzi)

_delfo52

Messaggio da _delfo52 » mar gen 03, 2006 4:42 pm

trattando con figure dotate solo di angoli retti, la trasformazione non presenta problemi, se non si è troppo esigenti sul numero di pezzi in cui tagliuzzare il rettangolo.
Conoscendo l'area delle figure, è un gioco da ragazzi costruire le due figure in modo che siano parzialmente sovrapposte. Il problema si riduce a ricomporre il rettangolo di esclusiva pertinenza del quadrato con pezzi ottenuti tagliando opportunamente il rettangolo di esclusiva pertinenza del rettangolo di partenza.
la cosa è sempre possibile anche ponendosi il limite di adoperare solo pezzi e pezzettini di forma rettangolare. La dimostrazione non sta nel margine (per cui lascio la dimostrazione ai posteri).
Più arduo dimostrare che la scomposizione ottenuta sia quella col minor numero di pezzi
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Enrico
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_0-§

Messaggio da _0-§ » mar gen 03, 2006 4:42 pm

Delfo,non si fa così!Hai la risposta al problema e mi lasci a scervellarmi?
Bella la citazione di Fermat,ma se non mi dai una mano non ce la farò mai!
E' facile trovare il rettangolo di area uguale a un cerchio con riga e compasso,ma con le scomposizioni é ben più difficile.
Qualcuno mi aiuti!
0-§
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_GaS

Messaggio da _GaS » mar gen 03, 2006 4:43 pm

Non capisco perchè fermarsi a 5 pezzi, un rettangolo 5x1 si può dividere in 4 pezzi per poi riunirli a formare un quadrato. Come?

Non sono sicuro che sia questo il posto in cui proporre il problema, se avessi dovuto aprire un nuovo topic fatemelo sapere.

Ciao,

GaS

P.S.: ad intervalli assolutamente random ricompaio nel forum, pensate che solo oggi ho visto la nuova versione, complimenti!

_panurgo

Messaggio da _panurgo » mar gen 03, 2006 4:45 pm

0-§ ha scritto:Delfo,non si fa così!Hai la risposta al problema e mi lasci a scervellarmi?
Bella la citazione di Fermat,ma se non mi dai una mano non ce la farò mai!
E' facile trovare il rettangolo di area uguale a un cerchio con riga e compasso,ma con le scomposizioni é ben più difficile.
Qualcuno mi aiuti!
0-§

ecco un esempio di "quadratura del rettangolo" con riga e compasso che potrà essere forse di spunto per qualcuno con più verve di me nella ricerca di un sezionamento minimo

Immagine

N.B.: il triangolo CDH è congruente con il triangolo CFG
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panurgo

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_panurgo

Messaggio da _panurgo » mar gen 03, 2006 4:46 pm

eccone un'altra per cui il rapporto tra i lati del rettangolo è maggiore di 2

Immagine
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_0-§

Messaggio da _0-§ » mar gen 03, 2006 4:46 pm

Grazie Pan.Come soluzioni con riga e compasso non sono un granché,ma per le scomposizioni sono un importante passo in avanti.Si può arrivare alla scomposizione esatta ?
Io continuo a provare,ma non sono più tanto sicuro che esista una soluzione generalizzabile.
Ciao
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Ospite

Messaggio da Ospite » mar gen 03, 2006 4:48 pm

Ho risolto il quesito posto da GaS (solfuro di gallio :shock: ).
Visto che non so inserire la figura lo spiego a parole.
Ponendo il rettangolo sul piano cartesiano i suoi vertici avranno coordinate:
A(0;0) B(5;0) C(5;1) D(0;1)
Per dividere il rettangolo in quattro pezzi si taglia lungo i segmenti i cui estremi hanno le seguenti coordinate:
A(0;0)-E(2;1)
E(2;1)-F(5/2;0)
B(5;0)-G(9/2;1)
Il rettangolo viene così diviso in 4 pezzi: 3 triangoli rettangoli ed un parallelogramma.
I vertici del quadrato diventeranno:
A-E-H(1;3)-I(-1;2)
Se qualcuno postasse la figura sarebbe tutto più chiaro.

_panurgo

Messaggio da _panurgo » mar gen 03, 2006 4:56 pm

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(mi sto esercitando con Geogebra)
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_Luciano

Messaggio da _Luciano » mar gen 03, 2006 4:57 pm

Così va bene?

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Bravissimo(a) !!!
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Ciao.

_panurgo

Messaggio da _panurgo » mar gen 03, 2006 5:01 pm

delfo52 ha scritto: trattando con figure dotate solo di angoli retti, la trasformazione non presenta problemi, se non si è troppo esigenti sul numero di pezzi in cui tagliuzzare il rettangolo...

Per una volta, Del, non sono d'accordo con te. L'area del rettangolo è ab e il lato del quadrato è \sqrt{ab}: se \sqrt{ab} non è razionale, non è possibile "quadrare il rettangolo con un numero finito di tagli ortogonali ai lati.
Osserva la figura seguente

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Il quadrato AEFG taglia sul rettangolo ABCD il rettangolo ABHG. Misurando il rettangolo in eccesso CDGH con il lato del rettangolo in eccesso ABHG resta in esubero il rettangolo DGKL che è simile al rettangolo originale. Analogamente, misurando il rettangolo in eccesso ABHG con il lato del rettangolo in eccesso CDGH resta in esubero il quadrato BEIJ e ci si ritrova (più in piccolo) nelle condizioni di partenza.

Vicersa, nel caso in cui \sqrt{ab} sia razionale, il sezionamento retto è possibile


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_delfo52

Messaggio da _delfo52 » mar gen 03, 2006 5:03 pm

avevo avuto il sospetto di aver detto qualcosa di non dimostrato (certamente) e forse di sbagliato. E tu me lo dimostri, ma...
io non ho fretta e il dover fare infinite volte il riporto dei rettangolini non è poi una cosa tanto peggiore di altre attività :P :evil:
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Enrico
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_panurgo

Messaggio da _panurgo » mar gen 03, 2006 5:04 pm

ovviamente, è possibile sezionare con tagli obliqui che danno numeri irrazionali

Immagine

(non so se casi del tipo \sqrt{ab} = \pi possano essere risolti con tagli obliqui)
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