R-coseno 20°

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

peppe
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Messaggio da peppe » gio dic 15, 2005 4:51 pm

peppe ha scritto:b]R[/b]
Admin:Inviato: Mer Giu 01, 2005 12:07pm
un ulteriore informazione:le 3 soluzioni dell'equazione:
x^3-3x-1=0 con x=\frac{cos20}{2}
sono:
x_1=-2\cdot cos40, \quad x_2=2\cdot cos20, \quad x_3=-2\cdot sin10

le ho trovate con Derive 5.
In effetti, se si prova a calcolare sin10 o cos40 si giunge sempre alla stessa equazione.
Inoltre, ho tracciato il grafico della funzione con Matlab, ed i punti di intersezione con y=0 sono proprio quelli. Sinceramente, non so la formula di Cardano a quale delle 3 soluzioni si riferisce.
Proprio adesso mi è venuto un altro spunto...
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Admin:Inviato: Mar Giu 14, 2005 4:42 pm
provando a semplificare la soluzione ottenuta con le formule di Cardano (a proposito, ho fatto una ulteriore ricerca in rete e sembra che il primo che le abbia scoperte sia stato Scipione Dal Ferro) sono giunto ad un sitema di 2 equazioni di 3° grado in 2 incognite;
è questo:
\left{\begin{array}{c}3ab^2-a^3=3\\b^3-3a^2b=1\end{array}

in effetti sembra di esser tornato punto e a capo;però, se fosse possibile trovare due soluzioni algebriche senza numeri immaginari per a e b,riuscirei a semplificare la formula e quindi a trovare sol. algebriche senza immaginari per cos20.
E' possibile risolvere il sistema in tal senso? io ci ho provato e mi sono imbattuto in una equazione di 7° grado
++++++++++++++++++++++++++
«Un uomo è come una frazione il cui numeratore è quello che è, e il cui denominatore quello che pensa di sé.
Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

Bruno
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Messaggio da Bruno » mar dic 27, 2005 11:12 am

...

Ho appena finito di riguardarmi questo topic, secondo me
affascinante.
Lo trovo affascinante per come si è evoluto, esempio tipico di
un genuino lavoro di gruppo.
(Per fortuna, nel forum ce ne sono parecchi.)

In effetti, quando mi sono avvicinato alle equazioni di terzo grado,
anch'io ho avuto un bel daffare nel cercare di tradurre le forme
di radicali come:

\displaystyle \sqr[3]{p\pm \sqr{q}\cdot i}

in un binomio del tipo:

\displaystyle m \pm \sqr{n}\cdot i.

Poi ho scoperto (ma non da solo) che questo è possibile solo quando
l'equazione originaria ammetta una soluzione razionale.
Per esempio, tale riduzione sarebbe sicuramente possibile per
l'equazione:

\displaystyle x^3-15\cdot x = 4

dal momento che è soddisfatta anche per x = 4, e Bombelli stesso,
nella sua Algebra, fornì un interessante procedimento di ricerca
per tentativi.

Al contrario, si può dimostrare che l'equazione

\displaystyle x^3-3\cdot x=1

non ha soluzioni razionali ;)

Il mio intervento, naturalmente, non chiude affatto la questione,
anzi...

Bruno

FrancescoVeneziano
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Messaggio da FrancescoVeneziano » mar dic 27, 2005 1:20 pm

In effetti, si può dimostrare che se p è un numero primo
x^p-px-1
è un polinomio irriducibile.

CaO (ossido di calcio)

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