Recentemente mi è capitato di leggere un articolo del matematico australiano Richard Brent su alcune somme binomiali.
A un certo punto egli stabilisce un teorema che conduce alla seguente espressione: $ \;\;\; 3{\small \;\cdot\;} (n-1) {\small \;\cdot\;} n^3 {\small \;\cdot\;} \begin{pmatrix} 2 \, n \\ n \end{pmatrix}^2 {\small \cdot\;} \, 2^{2 \, n - 1}\;\Large . $
Corrisponde a una tripla sommatoria riportata a pagina 11 di questo documento.
Assegnando qualche naturale a $\;n\,$, ci si accorge presto che i risultati sono divisibili per $\; 48^2\,$.
In effetti, possiamo dire che questo quadrato è il massimo comun divisore di tutti i numeri naturali generati da tale formula.
Perché ?
Quarantotto per quarantotto.
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Quarantotto per quarantotto.
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: Quarantotto per quarantotto.
non mi azzardo ad entrare nei calcoli; ma approfitto per esporre il procedimento che utilizzo per calcolare prodotti come "48 x 48".
Invece di sviluppare la moltiplicazione in maniera normale, come ci hanno insegnato alle elementari, io procedo così:
approssimo a 50 x 50 = 2500
per passare da un quadrato al quadrato dell'intero inferiore, basta sottrarre una volta il primo numero e una volta il secondo; nel nostro caso, per passare da 50^2 a 49^2 , si sottrae da 2500 prima 50 e poi 49.
Lo stesso per passare da 49^2 al 48^2; si sottrae 49 e 48.
Invece di fare tutti i passaggi, basta notare che sottrarre 50, poi 49, poi 49 e poi 48, equivale a togliere 49 per quattro volte.
calcolare 49 x 4 ? Gammai! molto meglio fare 50 x 4 e poi togliere 4 = 196.
Per calcolare 2500 - 196 , si disfa l'ultimo passaggio, e si toglie 200,per aggiungere poi 4
2304.
E voi, come fate?
Invece di sviluppare la moltiplicazione in maniera normale, come ci hanno insegnato alle elementari, io procedo così:
approssimo a 50 x 50 = 2500
per passare da un quadrato al quadrato dell'intero inferiore, basta sottrarre una volta il primo numero e una volta il secondo; nel nostro caso, per passare da 50^2 a 49^2 , si sottrae da 2500 prima 50 e poi 49.
Lo stesso per passare da 49^2 al 48^2; si sottrae 49 e 48.
Invece di fare tutti i passaggi, basta notare che sottrarre 50, poi 49, poi 49 e poi 48, equivale a togliere 49 per quattro volte.
calcolare 49 x 4 ? Gammai! molto meglio fare 50 x 4 e poi togliere 4 = 196.
Per calcolare 2500 - 196 , si disfa l'ultimo passaggio, e si toglie 200,per aggiungere poi 4
2304.
E voi, come fate?
Enrico
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Re: Quarantotto per quarantotto.
$\Large 3\cdot (n-1) \cdot n^3 \cdot { {2n} \choose {n}}^2 \cdot 2^{2n - 1}$
Vediamo...
$48^2 = 3^2 \cdot 2^8$
... ci sono due 3 e otto 2 come fattori.
Consideriamo n > 1.
Nell'espressione di partenza:
$\Large {{2n} \choose {n}} = \frac {(n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3) ... \cdot (n+n)}{1 \cdot 2 \cdot 3 ... \cdot n}$
Vediamo...
$48^2 = 3^2 \cdot 2^8$
... ci sono due 3 e otto 2 come fattori.
Consideriamo n > 1.
Nell'espressione di partenza:
- un 3 è esplicito
- un 3 si trova nel fattore $(n-1) \cdot n^3$ quando n = 1 oppure n = 0 MOD 3
- almeno un 3 si trova nel binomiale quando n = 2 MOD 3
- per 1 < n <=4, almeno otto 2 si racimolano qua e là nei vari fattori dell'espressione completa
- per n > 4, almeno otto 2 si trovano nel fattore $2^{2n - 1}$
$\Large {{2n} \choose {n}} = \frac {(n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3) ... \cdot (n+n)}{1 \cdot 2 \cdot 3 ... \cdot n}$
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Quarantotto per quarantotto.
Ottimo Gianfranco
Trascurando la parte riguardante la potenza di 2, che è piuttosto semplice da verificare, per vedere che $\;$ (n-1)·n³·C(2n; n)²
è divisibile per 3 (e in infiniti casi lo è una sola volta) possiamo anche pensare così.
Tolti gli ovvii n ≡ 0, 1 (mod 3), $\;$ se vogliamo passare da $\;$ C(2n; n) $\;$ a $\;$ C(2n+2; n+1), $\;$ avendo presente la nota formula
che definisce il coefficiente binomiale, otteniamo facilmente:
(n+1)·C(2n+2; n+1) = 2·(2n+1)·C(2n; n).
Quando $\;$ n ≡ 2 (mod 3) $\;$ è immediato concludere che $\;$ C(2n; n) $\;$ è senz'altro divisibile per $\,$ 3.
Trascurando la parte riguardante la potenza di 2, che è piuttosto semplice da verificare, per vedere che $\;$ (n-1)·n³·C(2n; n)²
è divisibile per 3 (e in infiniti casi lo è una sola volta) possiamo anche pensare così.
Tolti gli ovvii n ≡ 0, 1 (mod 3), $\;$ se vogliamo passare da $\;$ C(2n; n) $\;$ a $\;$ C(2n+2; n+1), $\;$ avendo presente la nota formula
che definisce il coefficiente binomiale, otteniamo facilmente:
(n+1)·C(2n+2; n+1) = 2·(2n+1)·C(2n; n).
Quando $\;$ n ≡ 2 (mod 3) $\;$ è immediato concludere che $\;$ C(2n; n) $\;$ è senz'altro divisibile per $\,$ 3.
(Bruno)
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