Quarantotto per quarantotto.

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Bruno
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Quarantotto per quarantotto.

Messaggio da Bruno » mar mag 17, 2016 11:39 am

Recentemente mi è capitato di leggere un articolo del matematico australiano Richard Brent su alcune somme binomiali.
A un certo punto egli stabilisce un teorema che conduce alla seguente espressione: $ \;\;\; 3{\small \;\cdot\;} (n-1) {\small \;\cdot\;} n^3 {\small \;\cdot\;} \begin{pmatrix} 2 \, n \\ n \end{pmatrix}^2 {\small \cdot\;} \, 2^{2 \, n - 1}\;\Large . $
Corrisponde a una tripla sommatoria riportata a pagina 11 di questo documento.

Assegnando qualche naturale a $\;n\,$, ci si accorge presto che i risultati sono divisibili per $\; 48^2\,$.

In effetti, possiamo dire che questo quadrato è il massimo comun divisore di tutti i numeri naturali generati da tale formula.

Perché ?
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delfo52
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Re: Quarantotto per quarantotto.

Messaggio da delfo52 » mar mag 17, 2016 1:51 pm

non mi azzardo ad entrare nei calcoli; ma approfitto per esporre il procedimento che utilizzo per calcolare prodotti come "48 x 48".
Invece di sviluppare la moltiplicazione in maniera normale, come ci hanno insegnato alle elementari, io procedo così:
approssimo a 50 x 50 = 2500
per passare da un quadrato al quadrato dell'intero inferiore, basta sottrarre una volta il primo numero e una volta il secondo; nel nostro caso, per passare da 50^2 a 49^2 , si sottrae da 2500 prima 50 e poi 49.
Lo stesso per passare da 49^2 al 48^2; si sottrae 49 e 48.
Invece di fare tutti i passaggi, basta notare che sottrarre 50, poi 49, poi 49 e poi 48, equivale a togliere 49 per quattro volte.
calcolare 49 x 4 ? Gammai! molto meglio fare 50 x 4 e poi togliere 4 = 196.
Per calcolare 2500 - 196 , si disfa l'ultimo passaggio, e si toglie 200,per aggiungere poi 4
2304.
E voi, come fate?
Enrico

peppe
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Re: Quarantotto per quarantotto.

Messaggio da peppe » mar mag 17, 2016 7:42 pm

Io avrei fatto così oppure:

$48 = (50-2)$

$48^2 = (50-2)^2 = (2500-200+4) = 2304.$

Ciao. peppe
«Un uomo è come una frazione il cui numeratore è quello che è, e il cui denominatore quello che pensa di sé.
Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

Gianfranco
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Re: Quarantotto per quarantotto.

Messaggio da Gianfranco » gio mag 26, 2016 3:21 pm

\Large 3\cdot (n-1) \cdot n^3 \cdot  { {2n} \choose {n}}^2 \cdot 2^{2n - 1}

Vediamo...
48^2 = 3^2 \cdot 2^8
... ci sono due 3 e otto 2 come fattori.
Consideriamo n > 1.

Nell'espressione di partenza:
  • un 3 è esplicito
  • un 3 si trova nel fattore (n-1) \cdot n^3 quando n = 1 oppure n = 0 MOD 3
  • almeno un 3 si trova nel binomiale quando n = 2 MOD 3
  • per 1 < n <=4, almeno otto 2 si racimolano qua e là nei vari fattori dell'espressione completa
  • per n > 4, almeno otto 2 si trovano nel fattore 2^{2n - 1}
Nota.
\Large {{2n} \choose {n}} = \frac {(n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3) ... \cdot (n+n)}{1 \cdot 2 \cdot 3 ... \cdot n}
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Quarantotto per quarantotto.

Messaggio da Bruno » lun mag 30, 2016 9:05 am

Ottimo Gianfranco :D

Trascurando la parte riguardante la potenza di 2, che è piuttosto semplice da verificare, per vedere che $\;$ (n-1)·n³·C(2n; n)²
è divisibile per 3 (e in infiniti casi lo è una sola volta) possiamo anche pensare così.

Tolti gli ovvii n ≡ 0, 1 (mod 3), $\;$ se vogliamo passare da $\;$ C(2n; n) $\;$ a $\;$ C(2n+2; n+1), $\;$ avendo presente la nota formula
che definisce il coefficiente binomiale, otteniamo facilmente:

(n+1)·C(2n+2; n+1) = 2·(2n+1)·C(2n; n).

Quando $\;$ n ≡ 2 (mod 3) $\;$ è immediato concludere che $\;$ C(2n; n) $\;$ è senz'altro divisibile per $\,$ 3.
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