Quando si dice troppo

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Pasquale
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Quando si dice troppo

Messaggio da Pasquale » gio dic 29, 2005 3:43 pm

Perché 3a^4-4a^3b+b^4\ge 0, per ogni reale a,b ?
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

archie

Messaggio da archie » ven dic 30, 2005 3:23 pm

Perche' il polinomio si puo' scomporre cosi':
(a-b)^2(3a^2+2ab+b^2) ed i due fattori del prodotto
sono il primo non negativo ed il secondo sicuramente positivo
dato che non ha radici reali.
Archie

Bruno
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Messaggio da Bruno » lun gen 02, 2006 12:30 pm

...

D'accordo con te, Archie ;)

In alternativa, ma si tratta di un'inezia, potrei intervenire sul primo membro
della disuguaglianza in questo modo:

\displaystyle 3a^4+b^4-4a^3b = a^4+b^4-2a^2b^2+2a^2b^2+2a^4-4a^3b = \\ (a^2-b^2)^2+2a^2(a^2+b^2-2ab) = (a^2-b^2)^2+2a^2(a-b)^2 \ge 0 .

A sinistra, pertanto, ho ottenuto una somma di quadrati, il valore della quale,
per gli a e b indicati, non può essere minore di zero.

.........
Bruno

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