Quadrilatero ed angoli

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
karl
Livello 4
Livello 4
Messaggi: 100
Iscritto il: gio mar 29, 2007 2:03 pm

Quadrilatero ed angoli

Messaggio da karl » sab ott 15, 2011 4:55 pm

Sia ABCD un quadrilatero con l'angolo CBD doppio dell'angolo ADB e l'angolo ABD doppio dell'angolo CDB.Sapendo che AB=CB dimostrare che è pure AD=CD .

Info
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 325
Iscritto il: lun nov 21, 2005 1:11 pm
Contatta:

Re: Quadrilatero ed angoli

Messaggio da Info » dom ott 16, 2011 2:14 pm

quadrilatero.png
partiamo con le relazioni fra gli angoli e i lati

CBD=2ADB
ABD=2CDB

AB=CB

parto con il triangolo in basso

BE=DB\cdot\cos\(ABD\)=DB\cdot\cos\(2\cdot CDB\)
DAB=\pi-ADB-ABD\\AE=AD\cdot\cos\(DAB\)=AD\cdot\cos\(\pi-\(ADB+ABD\)\)=\\
AD\cdot\(\cos\(\pi\)\cdot\cos\(ADB+ABD\)+\sin\(\pi\)\cdot\sin\(ADB+ABD\)\)=
-AD\cdot\cos\(ADB+ABD\)=-AD\cdot\cos\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)

trovo anche BE

BE=DB\cdot\cos\(2\cdot CDB\)\\AE=-AD\cdot\cos\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)\\AB=AE+BE=DB\cdot\cos\(2\cdot CDB\)-AD\cos\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)

mi sposto sull'altro triangolo

DF=DB\cdot\cos\(CDB\)
BCD=\pi-CBD-CDB\\CF=CB\cdot\cos\(BCD\)=CB\cdot\cos\(\pi-CBD-CDB\)=-CB\cdot\cos\(CBD+CDB\)

CD=CF+DF=DB\cdot\cos\(CDB\)-CB\cdot\cos\(CBD+CDB\)

ma CB=AB quindi

CD=DB\cdot\cos\(CDB\)-\(DB\cdot\cos\(2\cdot CDB\)-AD\cdot\cos\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)\)

ma DB devo sostituirlo in funzione dei lati che conosco

\frac{DB}{\sin\(DAB\)}=\frac{AD}{\sin\(ABD\)}\\DB=\frac{AD\cdot\sin\(DAB\)}{\sin\(ABD\)}\\DAB=\pi-ADB-ABD\\DB=\frac{AD\cdot\sin\(DAB\)}{\sin\(ABD\)}=AD\cdot\sin\(\pi\)\cdot\cos\(ADB+ABD\)-AD\cdot\cos\(\pi\)\cdot\sin\(ADB+ABD\)\\DB=AD\cdot\sin\(ADB+ABD\)=AD\cdot\sin\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)

passo a CD

CD=DB\cdot\cos\(CDB\)-DB\cdot\cos\(2\cdot CDB\)-AD\cdot\cos\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)\\CD=AD\cdot\sin(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)-\(AD\cdot\sin\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)\cdot\cos\(2\cdot CDB\)-AD\cdot\cos\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)\)

ma CD=AD.... verifichiamo

CD=CD\cdot\sin\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)-\(CD\cdot sin\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)\cdot\cos\(2\cdot CDB\)-CD\cdot\cos\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)\)=\\CD\cdot\sin\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)-CD\(\sin\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)\cdot\cos\(2\cdot CDB\)-\cos\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)\)

quindi

CD=CD\cdot\sin\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)-CD\cdot\(\sin\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)\cdot\cos\(2\cdot CDB\)-\cos\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)\)\\1=\sin\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)-\sin\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)\cdot\cos\(2\cdot CDB\)+\cos\(\frac{CBD}2+2\cdot CDB\)

stasera provero`a concludere i calcoli per verificare l'indentita`
Fai sorridere il tuo HD diventando opensource oriented, scopri come

Ivana
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 794
Iscritto il: dom nov 20, 2005 10:47 am
Contatta:

Re: Quadrilatero ed angoli

Messaggio da Ivana » lun ott 17, 2011 10:20 am

Credo che, per costruzione, nel rispetto dei dati del problema, risulti possibile soltanto l'aquilone...
Ecco, in allegato, un esempio di aquilone... Arrotondamento: 1 cifra decimale
Lascio ad altri la dimostrazione di questo problema di geometria sintetica :)
Allegati
aquilone.gif
Immagine
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)

panurgo
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1177
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Re: Quadrilatero ed angoli

Messaggio da panurgo » lun ott 17, 2011 11:32 am

Ivana ha scritto:Credo che, per costruzione, nel rispetto dei dati del problema, risulti possibile soltanto l'aquilone...
Ecco, in allegato, un esempio di aquilone... Arrotondamento: 1 cifra decimale
Lascio ad altri la dimostrazione di questo problema di geometria sintetica :)
Avresti dovuto scrivere:

E' intuitivamente chiaro che, per costruzione e nel rispetto dei dati del problema, risulta possibile soltanto l'aquilone...

:wink:

continua...
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Ivana
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 794
Iscritto il: dom nov 20, 2005 10:47 am
Contatta:

Re: Quadrilatero ed angoli

Messaggio da Ivana » lun ott 17, 2011 12:16 pm

panurgo ha scritto:
Ivana ha scritto:Credo che, per costruzione, nel rispetto dei dati del problema, risulti possibile soltanto l'aquilone...
Ecco, in allegato, un esempio di aquilone... Arrotondamento: 1 cifra decimale
Lascio ad altri la dimostrazione di questo problema di geometria sintetica :)
Avresti dovuto scrivere:

E' intuitivamente chiaro che, per costruzione e nel rispetto dei dati del problema, risulta possibile soltanto l'aquilone...

:wink:

continua...
"È intuitivamente chiaro" per chi? :) Per te sicuramente, non ho dubbi, :) ma... "è intuitivamente chiaro" anche per qualunque lettore di questo problema? :?: :)
Immagine
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)

panurgo
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1177
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Re: Quadrilatero ed angoli

Messaggio da panurgo » lun ott 17, 2011 7:28 pm

La locuzione è intuitivamente chiaro o è intuitivamente ovvio è spesso usata da voi matematici nei casi in cui sapete bene che le cose stanno così ma non vi riesce di trovare una dimostrazione: anche a noi matefili succede la stessa cosa. :evil:

Proviamo un po' a costruire questo mal... benedetto quadrilatero

Immagine

I lati \overline{\text AB} e \overline{\text BC} sono congruenti, l'angolo in B è di 100^{\circ} (un valore qualsiasi) e la retta r passa per \text B dividendo l'angolo in due parti disuguali.

Tracciamo la bisettrice dell'angolo alla sinistra di r, la parallela ad essa passante per \text C

Immagine

ed individuiamo il punto {\text D}_{\script 1}: chiaramente abbiamo \angle\/{ABD}_{\script 1}\/=\/2\/\eta

Ripetiamo il giochino per l'angolo a destra di r

Immagine

e individuiamo il punto {\text D}_{\script 2} con \angle\/{CBD}_{\script 2}\/=\/2\/\zeta

Se ora cambiamo la pendenza della retta r, per esempio così

Immagine

dovrebbe essere divenuto intuitivamente chiaro che, per ragioni di simmetria, l'unico modo di avere il segmento {\text AD}_{\script 2} congruente con il segmento {\text CD}_{\script 1} sia di avere \eta\/=\/\zeta

Immagine

cioè il beneamato "aquilone".

:wink:

P.S.: Si potrebbe forse sfruttare il fatto che, in un triangolo, all'angolo maggiore corrisponde il lato maggiore e viceversa, tenuto conto che i due triangoli hanno i lati \overline{\text AB} e \overline{\text BC} congruenti e che uno dei due angoli non può crescere senza che diminuisca l'altro...
Ultima modifica di panurgo il mar ott 18, 2011 6:39 am, modificato 1 volta in totale.

Ivana
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 794
Iscritto il: dom nov 20, 2005 10:47 am
Contatta:

Re: Quadrilatero ed angoli

Messaggio da Ivana » mar ott 18, 2011 6:38 am

Pan, credo che, almeno per molti matematici, tutto sia ovvio soltanto…dopo
Ad esempio, in base dieci, 12+2=14, ma nell’aritmetica wittgensteiniana risulta che 12+2=15.
Come ci riferisce Hersh nel libro Cos’è davvero la matematica, Russell fu il mentore di Wittgenstein, ma Wittgenstein diceva che Russell non capiva il suo Tractatus. E, inoltre, Russell stesso ha detto (scrivo “ha detto”e non “disse”, perché reputo la sua affermazione ancora attualmente significativa e valida):
La matematica è la sola scienza esatta in cui non si sa mai di cosa si sta parlando, né se quello che si dice è vero.
Mi sembra (se non ricordo male!) che Russell abbia sostenuto anche che sia bene mettere un punto interrogativo a ciò che a lungo è stato dato per scontato…
Immagine
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)

panurgo
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1177
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Re: Quadrilatero ed angoli

Messaggio da panurgo » mar ott 18, 2011 11:53 am

panurgo ha scritto:P.S.: Si potrebbe forse sfruttare il fatto che, in un triangolo, all'angolo maggiore corrisponde il lato maggiore e viceversa, tenuto conto che i due triangoli hanno i lati \overline{\text AB} e \overline{\text BC} congruenti e che uno dei due angoli non può crescere senza che diminuisca l'altro...
Vediamo se può funzionare...

Supponiamo di costruire il nostro aquilone

Immagine

La condizione \eta\/=\/\zeta è sufficiente.

Se la retta r non è la bisettrice dell'angolo in \text B allora i lati {\text AD} e {\text CD} non possono essere congruenti

Immagine

Infatti, i due triangoli \triangle {\text ABD}_{\script 1} e \triangle {\text BCD}_{\script 1} hanno obbligatoriamente due lati congruenti (il lato {\text BD}_{\script 1} è in comune e {\text AB} e {\text BC} lo sono per ipotesi) e l'angolo compreso diverso (altrimenti si torna all'aquilone). Quindi, per il primo criterio di congruenza, i due triangoli NON sono congruenti.

La condizione \eta\/=\/\zeta è anche necessaria.

QED

Non so se vi accade lo stesso ma tutto ciò, se è una dimostrazione, mi è intuitivamente molto meno chiaro...
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Ivana
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 794
Iscritto il: dom nov 20, 2005 10:47 am
Contatta:

Re: Quadrilatero ed angoli

Messaggio da Ivana » mar ott 18, 2011 1:24 pm

Non so se possa bastare la "dimostrazione per costruzione"...
Inoltre, poiché alla parola "aquilone" si associa spesso solo la figura convessa specifica, ritengo opportuno aggiungere che potrebbe trattarsi anche di un aquilone concavo detto "punta", o "dardo", ma anche per il dardo non saprei andare oltre la "dimostrazione per costruzione"... :)
Ecco un esempio grafico. Arrotondamento: due cifre decimali
Allegati
punta_o_dardo.gif
Immagine
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)

fabtor
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 226
Iscritto il: mar nov 17, 2009 3:59 pm

Re: Quadrilatero ed angoli

Messaggio da fabtor » mar ott 18, 2011 8:27 pm

Stavo provando ad immaginare le possibili soluzioni se si considerasse un piano ellittico, ma dopo aver scritto un post fiume a riguardo mi sono reso conto che ciò che avevo concluso non aveva alcun senso, quindi provo a girare a voi la domanda (non so perchè, ma ho come la sensazione che in questo piano il range di possibili forme possa essere più ampio).

Solo una domanda: e se lo costruissimo direttamente come riflessione di un triangolo rettangolo 30/60 lungo la sua ipotenusa (x poi magari generalizzare a tutti gli altri che rispettano la condizione data degli angoli uno doppio dell'altro) la cosa non potrebbe aiutare?
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: |e^{-i\pi}|...

Pongo y = x^{2} quindi y=\frac {x^{2}}{pongo}
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]

Il vero gnomone aureo: http://thumbs.dreamstime.com/z/gnomo-de ... 526933.jpg

Rispondi