Quadrati quasi latini

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giobimbo
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Quadrati quasi latini

Messaggio da giobimbo » gio ott 11, 2018 5:33 am

Con n-1 numeri diversi, scelti tra 1 e n, costruire una sequenza che inizia con n e tale che le differenze mod(n-1) tra il primo e il secondo termine della sequenza, tra il secondo e il terzo termine, ecc., siano tutte diverse.
Con tale sequenza costruiamo una tabella (n-1)x(n-1) la cui prima colonna contiene i numeri della sequenza e la diagonale principale contiene solo n. Se r è un termine della sequenza diverso da n la diagonale che parte da esso conterrà i numeri r, r-1, r-2, ... (differenze sempre modulo n-1, s'intende) e così per tutti i numeri diversi da n. La tabella è cilindrica (la prima e l’ultima riga si toccano, come se la tabella fosse avvolta su un cilindro), per cui quando una diagonale esce sotto la tabella poi rientra di sopra.
Un esempio con n=4 (potenza pari). Sia la sequenza 4 1 2, quindi differenze modulari (4-1)=3 e (1-2)=2.
La tabella comincerà con:

04
01
02 poi:

04
01…04
02…03…04 per finire con:

04…01…02
01…04…03
02…03…04

quindi con righe e colonne che contengono sempre numeri diversi.

Problema: costruire una tabella con righe e colonne che contengano sempre numeri diversi con n=8 (potenza pari) e una con n=9 (potenza dispari)

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Re: Quadrati quasi latini

Messaggio da Info » sab ott 13, 2018 12:22 pm

ciao, ho trovato la verticale ma non riesco a proseguire.

questo e l'inizio

8
1_8
4__8
5___8
3____8
7_____8
2______8
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giobimbo
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Re: Quadrati quasi latini

Messaggio da giobimbo » sab ott 13, 2018 3:43 pm

Il primo passo è questo:

8
1…8
4…7…8
5…3…6…8
3…4…2…5…8
7…2…3…1…4…8
2…6…1…2…7…3…8

però, come vedi, nell’ultima riga ci sono due numeri uguali per cui è inutile proseguire. Le differenze (mod 7) danno tutti numeri diversi ma tale sequenza non genera un quadrato quasi latino.

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Re: Quadrati quasi latini

Messaggio da giobimbo » sab dic 15, 2018 11:19 am

Visto che nessuno ha ancora trovato una soluzione aggiungo un altro esempio con n=7. La sequenza è:
7 6 3 1 2 4 con differenze modulari:
1 3 2 5 4
e la tabella quindi comincerà con:

7
6…7
3…5…7
1…2…4…7
2…6…1…3…7
4…1…5…6…2…7 per finire con:

7…3…6…4…5…1
6…7…2…5…3…4
3…5…7…1…4…2
1…2…4…7…6…3
2…6…1…3…7…5
4…1…5…6…2…7

Questo problema nasce da una mia vecchia ricerca ispirata dall’articolo di Martin Gardner “I guastafeste di Eulero”, nel suo terzo libro di Giochi (Sansoni editore). Dal quadrato quasi latino si ottiene in modo semplice una struttura geometrica indicata con

AG(2,n)

cioè “spazio affine di Galois di dimensione 2 e ordine n”
oppure, visto che la dimensione è 2 si parla di “piano affine”.
Si sa che esistono piani affini di ordine n per ogni n potenza di un numero primo: usando la tabella ottenuta da una corretta sequenza si ottengono tutte le nx(n+1) linee di tale piano.
Per n=9 esistono 4 piani affini, ma con quello che scherzosamente ho chiamato quadrato quasi latino si genera un piano affine “desarguesiano” (gli altri tre non lo sono).

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