Quadrati a iosa.

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peppe
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Quadrati a iosa.

Messaggio da peppe » mer mar 08, 2017 12:22 pm

Nel sito di Mauro Fiorentini:
http://www.bitman.name/math/article/56

credo che ci sia pane per "denti veramente duri".

Per gli amanti del visualbasic, come Gianfranco e Pasquale, c'è
materiale a sufficienza per poter creare programmi in grado
di verificare le numerose affermazioni che si trovano nei
vari capitoli dell'indice:

Indice
1. Pagina principale
2. Sequenze di interi consecutivi multipli di quadrati
3. Insiemi che producono quadrati tramite addizioni e moltiplicazioni
4. Rappresentazione degli interi come somma di quadrati
5. Rappresentazione degli interi come differenza di quadrati
6. Proprietà basate sulle cifre

Io ho provato a capirci qualcosa ma , onestamente, le cose
comprensibili, per me, sono veramente poche, rispetto alle
tante regolette e curiosità elencate.

Spero che qualche anima buona venga incuriosito da qualcuna delle tante curiosità
è la spieghi in modo "umanamente comprensibile" ai comuni mortali.
Saluti. peppe
---
P.S.
Sto rovistando nel sito.
Perdonate l'ingenuità...ma anche se questa:
http://www.bitman.name/math/article/1266
non è matematica, tuttavia (almeno in me) cose così:
$2427 = 2^1 + 4^2 + 2^3 + 7^4$

destano un certo stupore. :oops:
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Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

Pasquale
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Re: Quadrati a iosa.

Messaggio da Pasquale » mer mar 08, 2017 8:14 pm

Bene Peppe, quello che segue diverrà famoso come il numero di Pasquale:

45269999 = 1^0+2^1+3^2+4^3+5^4+6^5+7^6+8^7+9^8 :mrgreen:

La particolarità è nell'uso di tutte le potenze da 0 a 8 e dal fatto che il numero risultante contiene quattro 9 (metà delle cifre uguali).

Potrà un altro numero con le stesse potenze da 0 a 8 e con le basi tutte diverse fra loro divenire più famoso, perché composto da cifre uguali per oltre la metà delle cifre totali?
Si potrà un giorno trovare un numero con tutte le cifre uguali? Ai posteri l'ardua sentenza
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Re: Quadrati a iosa.

Messaggio da peppe » mer mar 08, 2017 9:35 pm

Incredibile!
I numeri , e coloro che li sanno "addomesticare", non finiranno mai di stupirmi!
Bravo!
Grazie Pasquale. Ciao. :wink:
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Re: Quadrati a iosa.

Messaggio da Pasquale » mer mar 08, 2017 9:48 pm

E' possibile trovare altri numeri come il 2427 riportato sopra da Peppe, senza limitazioni per quanto concerne gli esponenti ?

1234 = 1^1 + 2^7 + 3^2 + 4^5

2345 = 2^5 + 3^7 + 4^0 + 5^3

3457 = 3^3 + 4^4 + 5^5 + 7^2
Ultima modifica di Pasquale il gio mar 09, 2017 12:08 am, modificato 1 volta in totale.
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Re: Quadrati a iosa.

Messaggio da Pasquale » mer mar 08, 2017 10:20 pm

Intanto, Pasquale supera il numero di Pasquale con un numero contenente una cifra ripetuta per oltre la metà delle cifre totali (16 su 31), utilizzando 9 basi costituite da numeri diversi fra loro e come esponenti tutti quelli fra 0 ed 8:

2492104722222720252230925278222 = 78^0 + 9588^1 + 4772^2 + 3559^3 + 7011^4 + 548^5 + 6874^6 + 7274^7 + 6303^8

Ancora più della metà:

10824222022282222 = 260^0 + 432^1 + 304^2 + 209^3 + 266^4 + 73^5 + 435^6 +169^7 + 57^8
6666681416662866 = 354^0 + 357^1 + 464^2 + 297^3 + 355^4 + 293^5 + 278^6 + 101^7 + 94^8
2472298222222262295 = 154^0 + 277^1 + 80^2 + 311^3 + 328^4 + 250^5 + 106^6 + 297^7 + 197^8
113111711111115515 = 399^0 + 265^1 + 331^2 + 105^3 + 154^4 + 111^5 + 90^6 + 270^7 + 98^8
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Re: Quadrati a iosa.

Messaggio da Bruno » gio mar 09, 2017 11:22 am

Bella idea, Pasquale, questi numeri di Pasquale :D

Si potrebbero però considerare gli esponenti a partire da 1, per apprezzare meglio la scelta anche della base che inizia la somma
(in effetti mi sembra che le tue ultime espressioni conservino la proprietà anche togliendo il primo termine).
E poi si potrebbe includere l'esponente 9, cosa ne dici?
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Re: Quadrati a iosa.

Messaggio da Pasquale » gio mar 09, 2017 3:36 pm

Si Bruno, si può benissimo aggiungere l'esponente 9. Con lo zero, che aggiunge un'unità, diciamo che abbiamo la completezza di tutte le cifre poste ad esponente e l'unità del risultato può servire o meno nei vari casi, come ad esempio nel caso di:

10824222022282222 = 260^0 + 432^1 + 304^2 + 209^3 + 266^4 + 73^5 + 435^6 +169^7 + 57^8, ove senza il 260^0, che avrebbe potuto essere anche un qualsiasi k^0, avremmo avuto un 2 in meno nel conteggio della cifra maggioritaria.
Per contro, si potrebbe obiettare che in fondo il risultato di una potenza con esponente 0 è solo una convenzione e non un vero calcolo; infatti pare che stoni alla vista la differenza di risultato fra 0^0, 0^1, 0^2,.... ove \text 0^0=1 e 0^1=0.

Comunque, va bene: utilizziamo la somma di 9 potenze con indici dall'1 al 9 e con basi tutte diverse e vediamo cosa ne vien fuori.

Vale appena il caso di precisare che le basi tutte diverse sono necessarie per evitare di falsare la sequenza; infatti 3^2+3^3=3^2(1+3)=4*3^2, significherebbe aver posto nella sequenza 4 volte l'esponente 2 e non aver considerato l'esponente 3.
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Re: Quadrati a iosa.

Messaggio da Pasquale » gio mar 09, 2017 3:53 pm

Intanto, in prima battuta:

1011710363112111 = 308^1 + 127^2 + 123^3 + 61^4 + 100^5 + 223^6 + 136^7 + 48^8 + 5^9

512000000231565090000 = 338^1 + 128^2 + 188^3 + 175^4 + 143^5 + 58^6 + 37^7 + 21^8 + 200^9
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Re: Quadrati a iosa.

Messaggio da Bruno » gio mar 09, 2017 4:27 pm

Ottimo :D

Sempre restando nei dintorni, si possono cercare i numeri esprimibili come somma di nove potenze con basi ed esponenti consecutivi, numeri
che contengano tutte le cifre da 1 a 9 ripetute almeno due volte. Per esempio questi:

$\small{87^5 + 88^6 + 89^7 + 90^8 + 91^9 + 92^{10} + 93^{11} + 94^{12} + 95^{13} \; \; \; = \; 51814673549346127593875423} \; \to \; 11122333344445555667778899$,
$\small{71^7 + 72^8 + 73^9 + 74^{10} + 75^{11} + 76^{12} + 77^{13} + 78^{14} + 79^{15} \; = \; 29446351148755865375746628927} \; \to \; 11222334444555556666777788899$.

Tra l'altro, il più piccolo è un numero primo, mentre l'altro è il settuplo di un numero primo e la sua somma ha un aspetto, direi così,
che cita il $\;7\;$.

Ridotti a \,modulo 8\, sono entrambi uguali a 7, quindi nessuno di essi può essere scritto come somma di tre quadrati. Ma in fondo... cosa se ne
fanno di tre quadrati? ;)
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Re: Quadrati a iosa.

Messaggio da Pasquale » gio mar 09, 2017 7:04 pm

Stavo cercando un risultato con la maggior parte della cifre uguali fra loro, utilizzando tutti gli esponenti da 1 a 9 presi 1 sola volta, con le 9 basi tutte diverse fra loro.
Alla fine ho trovato la soluzione banale che soddisfa la mia ricerca:

9*10^{2520} = (10^{2520})^1 + (10^{1260})^2 + (10^{840})^3 + (10^{630})^4 + (10^{504})^5 + (10^{420})^6 + (10^{360})^7 + (10^{315})^8 + (10^{280})^9

L'esponente fra parentesi ho dovuto utilizzarlo per necessità di rappresentazione dei vari numeri, considerato lo scarso spazio disponibile, ma in luogo delle potenze fra parentesi bisogna immaginare per ognuna di esse la cifra 1 seguita da tot zeri (quelli indicati come esponenti nella varie parentesi).

Abbiamo in definitiva un numero di 2521 cifre, di cui un 9 e 2520 zeri. Potrebbe essere questo il numero più piccolo con la caratteristica di avere tutte le cifre uguali, salvo una, costruibile come somma di 9 potenze con gli esponenti da 1 a 9 tutti espressi e con 9 basi tutte diverse fra loro, ma resta tutto da dimostrare (magari potrebbe esistere un numero minore con cifre tutte uguali (es: tutti 2)).

Notevole la tua ricerca Bruno..... :shock: :shock: :shock:
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Re: Quadrati a iosa.

Messaggio da Bruno » lun mar 13, 2017 5:41 pm

In effetti non è ovvio, secondo me, che la tua soluzione (tutt'altro che banale) costituisca il più piccolo valore con quella caratteristica.

Un ragionamento simile si potrebbe fare anche per $\;3˙000˙000 = 3\cdot 10^{\small 6}$, considerandolo come somma di tre potenze con esponenti da $\;1\;$ a $\;3\;$.

Interpreto bene, Pasquale?

Anche se in questo caso è decisamente più facile trovare un numero minore, per esempio: $\;10˙000 = 400^{\small 1} + 40^{\small 2} + 20^{\small 3}$.


...........
Poscritto. Ne approfitto per segnalare il bellissimo sito di Darío Alpern, un prolifico ingegnere elettronico argentino che ha raccolto e risolto numerosi problemi di analisi diofantea. Eccolo: https://www.alpertron.com.ar/ (c'è anche la versione in inglese).
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Re: Quadrati a iosa.

Messaggio da Pasquale » lun mar 13, 2017 9:24 pm

Si dici bene, ma mi riferivo al caso di 9 potenze con tutti gli esponenti da 1 a 9, altrimenti con 3 potenze potremmo citare anche:

5^1+2^2+1^3, che pure genera un numero formato da cifre tutte uguali allo zero, esclusa una, ancora minore degli altri :D , anche se in questo caso limite gli zeri (uno) rappresentano appena il 50% di tutte le cifre, il che è pochino.

Il dubbio iniziale era: esiste un numero formato da cifre tutte uguali fra loro, generato dalla somma di 9 potenze (con esponenti da 1 a 9) e con le basi tutte diverse? Finora ho trovato un caso di tutte meno una, ammenocché non si consideri sofisticamente valida la somma:

(0^9)^1+(0^8)^2+(0^7)^3+(0^6)^4+(0^5)^5+(0^4)^6+(0^3)^7+(0^2)^8+(0^1)^9 = 0, in cui il risultato ha cifre tutte uguali e numero minore

non si potrebbe trovare. :idea: :mrgreen:
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Re: Quadrati a iosa.

Messaggio da Bruno » mar mar 14, 2017 9:50 am

Le tre potenze erano soltanto un grezzo esempio per far vedere che, in realtà, non è ovvio che un numero del tipo \; h·10ᵗ = (10ᵃ)¹ + (10ᵇ)² + (10ᶜ)³ + ... + (10ᶢ)ʰ \; sia il più piccolo fra quelli che hanno la caratteristica descritta. Anzi...
Pasquale ha scritto:Il dubbio iniziale era: esiste un numero formato da cifre tutte uguali fra loro, generato dalla somma di 9 potenze (con esponenti da 1 a 9) e con le basi tutte diverse?
Se il tuo dubbio era questo, Pasquale, stamattina mi sento di dirti , senza esitazione :mrgreen:

Cambiamo punto di vista rispetto a quello seguito finora.

Prendiamo $\small \;a = 2222222222$, scritto a caso.
$\small 10^9\;$ è la massima nona potenza più piccola di $\small \;a$.
Quindi passiamo a $\small \;b = 2222222222-10^9 = 1222222222$.
$\small 13^8\;$ è la massima ottava potenza più piccola di $\small \;b$.
Ora passiamo a $\small \;2222222222-10^9-13^8 = 406491501\;$ con $\;\small 16^7$.
Di questo passo arriviamo a:
$\small 2222222222 = 10^9 + 13^8 + 16^7 + 22^6 + 30^5 + 24^4 + 35^3 +38^2 + 46^1$,
è come dare un calcio al pallone :D

Con qualche ritocco, potremmo ordinare le basi in modo crescente:
$\small 2222222222 = 10^9 + 13^8 + 16^7 + 22^6 + 29^5 + 44^4 + 74^3 + 107^2 + 223^1$
oppure trovare altre configurazioni più appaganti.

La potenza a cui assegniamo l'esponente minimo ci permette di trattare con leggerezza e allegria questo genere di rappresentazioni.

Leggendo così la questione, ecco allora che $\small\;9\cdot 10^{2520}\;$ si ritrova a svolazzare, per esempio, sopra la testa di $\small\;{\large \frac{8}{9}}\cdot(10^{2521}-1)$, un numero formato da una sfilza duemilacinquecentoventun $\small\;8$, il quale in teoria può certamente essere "tradotto" in una somma del tipo visto.

Pensa a quanti simpatici numeri di Pasquale potremmo trovare, a questo punto :wink:
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Re: Quadrati a iosa.

Messaggio da Pasquale » mar mar 14, 2017 5:41 pm

Grande Bruno, si dimostra ancora una volta che all'uovo di Colombo bisogna pensarci e che batti e ribatti si giunge sempre da qualche parte.
In fondo, chi salva tutto è l'esponente 1.
Ora i numeri di Pasquale son divenuti i numeri di Bruno, la qual cosa non mi dispiace........... se poi vogliamo metterci in società,
possiamo anche chiamarli di Bruno-Pasquale (il braccio e la mente...no, mi sa il contrario...boh, fai tu) :wink: :) :P :D
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Re: Quadrati a iosa.

Messaggio da Bruno » mer mar 15, 2017 11:06 am

:D

Pasquale, e se come base dell'esponente $\,\small 1\,$ avessimo l'$\,\small 1\,$ stesso?
Il quale sia presente una sola volta nella somma, naturalmente, dopo aver determinato le varie potenze utilizzando l'algoritmo illustrato sopra.

Un esempio:
$\small 9˙999˙999˙999˙999˙999˙999 = 129^9 + 134^8 + 166^7 + 187^6 + 163^5 + 234^4 + 304^3 + 375^2 + 1$.

Quali numeri formati dalla ripetizione di una stessa cifra potrebbero essere rappresentati così?
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