proprio non mi viene...

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un aiutino

proprio non mi viene...

Messaggio da un aiutino » gio gen 19, 2006 1:14 pm

data y=x^3 -3x + 2 si determini l'equazione della retta s per l'origine degli assi che delimita con la curva data e con l'asse y una regione finita di piano, nel secondo quadrante, di area 5/4

grazie :!:

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Messaggio da Info » gio gen 19, 2006 3:13 pm

Quindi mi stai chiedendo, qual'è quella b per cui ponendo che la retta sia b\cdot x (passa per l'origine -> q=0) risulta

\displaystyle \int_0^a(x^3 -3\cdot x + 2)\partial x-\displaystyle \int_0^ab\cdot x \partial x=\frac54, vero?

se come ho capito è questo che vuoi sapere, ecco.

\displaystyle \int(x^3 -3\cdot x + 2)\partial x = \frac{x^4}4 - \frac{3\cdot x^2}2 +2\cdot x+c
\displaystyle \int b\cdot x\partial x = \frac{b\cdot x^2}2+c

quindi

\displaystyle \int_0^a(x^3 -3\cdot x + 2)\partial x=\displaystyle \begin{vmatrix}\frac{x^4}4 - \frac{3\cdot x^2}2 +2\cdot x+c \end{vMatrix}_0^a = \frac{a^4}4 - \frac{3\cdot a^2}2 +2\cdot a

\displaystyle \int_0^ab\cdot x\partial x=\displaystyle \begin{vmatrix}\frac{bx^2}2+c\end{vMatrix}_0^a = \frac{a^2\cdot b}2

tornando alla prima condizione, ho

\displaystyle \int_0^a(x^3 -3\cdot x + 2)\partial x-\displaystyle \int_0^ab\cdot x \partial x=\frac54=\frac{a^4}4 - \frac{3\cdot a^2}2 +2\cdot a-\frac{a^2\cdot b}2 =\frac{a^4-(6+4\cdot b)\cdot a^2+8\cdot a}4

quindi

a^4-(6+4\cdot b)\cdot a^2-5=8\cdot a

che è nella forma (con le dovute sostituzioni eg. 8*a=r ...)

a^4-p\cdot a^2+q=r\cdot a

giusta per trattarla con Cardano

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panurgo
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Messaggio da panurgo » ven gen 20, 2006 6:05 am

Volevo provare a dare un aiutino un po’ più semplice. In primo luogo conviene studiare un po’ la funzione: provando a sostituire i primi valori interi positivi e negativi si trova subito che 1 è uno zero della funzione

\displaystyle f\left( 1 \right) = 1^3  - 3 \cdot 1 + 2 = 0

Anche se non ci si ricorda la regola di Ruffini si può facilmente scomporre il polinomio ponendo

\displaystyle x^3  - 3x + 2 = \left( {x^2  + bx + c} \right)\left( {x - 1} \right) = x^3  + \left( {b - 1} \right)x^2  + \left( {c - b} \right)x - c

e uguagliando i coefficienti delle diverse potenze di x

\displaystyle \left\{ \begin{array}{c} b - 1 = 0 \\  c - b =  - 3 \\   - c = 2 \\  \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} b = 1 \\  c =  - 2 \\  \end{array} \right.

per cui è

\displaystyle x^3  - 3x + 2 = \left( {x^2  + x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)

Si vede subito che 1 è una radice doppia, infatti

\displaystyle 1^2  + 1 - 2 = 0

e

\displaystyle x^2  + x - 2 = x^2  - x + 2x - 2 = x\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)

e quindi

\displaystyle x^3  - 3x + 2 = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)^2

La derivata prima è

\displaystyle f’\left( x \right) = 3x^2  - 3

e si annulla per x =  \pm 1

La derivata seconda è

\displaystyle f”\left( x \right) = 6x

e si annulla per x = 0.

La funzione ha questa forma

Immagine

Individuiamo un punto P sul ramo della curva nel secondo quadrante, troviamo il punto {\rm P’}, proiezione di P sull’asse delle ascisse, e tracciamo la retta \overline {{\rm OP}}

Immagine

L’area richiesta dal problema è data dall’area {\rm OAPP’} meno l’area del triangolo {\rm OPP’} che valgono rispettivamente

\displaystyle A_{{\rm OAPP’}}  = \int_x^0 {dtf\left( t \right)}  = \left[ {\frac{{t^4 }}{4} - \frac{3}{2}t^2  + 2t} \right]_x^0  =  - \frac{{x^4 }}{4} + \frac{3}{2}x^2  - 2x

e

\displaystyle A_{\rm T}  = \frac{{ - x\,f\left( x \right)}}{2} =  - \frac{{x^4  - 3x^2  + 2x}}{2}

il segno meno perché x < 0. Poniamo dunque

\displaystyle A_{{\rm OAPP’}}  - A_{\rm T}  = \frac{5}{4}

\displaystyle \frac{{x^4  - 3x^2  + 2x}}{2} - \frac{{x^4 }}{4} + \frac{{3x^2 }}{2} - 2x = \frac{5}{4}

ovvero

\displaystyle x^4  - 4x - 5 = 0

Sempre con l’occhio vigile (provando i numeri semplici) si vede che x = -1 soddisfa l’equazione: l’equazione della retta cercata è dunque

\displaystyle y = y_{\rm O}  - \frac{{y_{\rm P}  - y_{\rm O} }}{{x_{\rm P}  - x_{\rm O} }}\left( {x - x_{\rm O} } \right) =  - 4x
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

un aiutino

grazie

Messaggio da un aiutino » ven gen 20, 2006 9:00 am

grazie a tutti e due! :D

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