Prodotto, Somma e Bidella

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Fabio Ciuffoli
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Prodotto, Somma e Bidella

Messaggio da Fabio Ciuffoli » dom lug 24, 2016 3:14 pm

Buongiorno, scrivo per segnalare il problema proposto da Angelo Guerraggio nel suo libro "Con la testa tra le nuvole" ed Il Mulino 2016 a pagina 144 con la relativa soluzione. Ho compreso la soluzione proposta ed io stesso l'ho risolto con qualche piccola variante che mi sembra più chiara.
In ogni caso chiedo se qualcuno è in grado di cogliere le differenze e le analogie con il cosiddetto Problema Impossibile! presente su questo sito con soluzione 13 e 4 e quindi con somma 17 e prodotto 52.
Ecco il problema con la soluzione. Grazie in anticipo a chi dedicherà del tempo per rispondere alla mia domanda...

Prodotto e Somma sono due professori di matematica che insegnano nella stessa scuola. Una bidella si diverte a provocarli con problemi di calcolo. Una mattina, con aria maliziosa, la bidella dice ai due professori: “Ecco la somma delle età delle mie due figlie” e rivolgendosi al professor Somma gli consegna un foglietto che il collega non può vedere. “Ecco il prodotto delle stesse due età” continua porgendo un altro foglietto solo al professor Prodotto. “Adesso fate vedere che siete dei bravi matematici e calcolate le due età, sapendo che le due figlie hanno almeno un anno”.
“A me il prodotto non basta” risponde il professor Prodotto. “Anch’io non posso rispondere” dice il professor Somma. La bidella li esorta dicendo “Sarete due esimi docenti di matematica, ma in questo momento mi state deludendo perché avete le informazioni necessarie per la soluzione del problema”
“Adesso io lo so, le due età sono…” dice il professor Prodotto.
Quali sono le età delle due figlie della bide

Soluzione
Le età delle due figlie sono 4 anni e 1 anno.
Il professor Prodotto è il primo a rispondere. Sul foglietto legge il prodotto delle due età ma non è in grado di individuarle. Vuol dire che non ha letto un numero primo, altrimenti se avesse letto ad esempio 7 o 13 avrebbe potuto concludere che le due età sarebbero rispettivamente di 1 e 7 oppure di1 e 13 anni.
Il professor Somma non ha letto 2 altrimenti il risultato sarebbe stato 1 e 1 e il professor Prodotto avrebbe letto 1 quindi sarebbe stato in grado di concludere.
Il professor Somma non ha letto 3 che corrisponderebbe alle età 1 e 2 e il professor Prodotto avrebbe letto 2 che è un numero primo.
Il professor Somma non ha letto neppure 4 che corrisponderebbe a:
- 1 e 3 perché il professor Prodotto avrebbe letto 3 e quindi avrebbe potuto concludere;
- 2 e 2 che, a questo punto, costituirebbe l’unica soluzione ed avrebbe permesso al professor Somma di concludere, mentre ha affermato di non essere in grado di rispondere.
Dunque la somma scritta sul foglietto è maggiore o uguale a 5.

Il professor Somma potrebbe aver letto 5 che corrisponderebbe a 4 e 1 oppure a 3 e 2; potrebbe aver letto 6 che corrisponderebbe a 5 e 1 oppure 4 e 2 o anche a 3 e 3; potrebbe aver letto 7 che corrisponderebbe a 6 e 1 oppure a 5 e 2 oppure a 4 e 3 e via di seguito. All’aumentare della somma le possibili combinazione di due addendi aumentano, così come le possibili combinazioni dei due fattori e questo ci allontana dall’unicità della soluzione.

Il professor Prodotto ne diventa consapevole quando il suo collega dichiara di non saper rispondere ed a questo punto dichiara di poter risolvere il problema.
Se il problema, come affermato dalla bidella, ha un’unica soluzione possibile vuol dire che il prodotto delle due età si può scomporre in due fattori in più modi e la somma dei fattori di una di queste scomposizioni è un numero inferiore a 5.
Il solo numero naturale che soddisfa queste condizioni è 4 che può essere dato da 4 x 1 oppure da 2 x 2. Abbiamo già escluso 2 e 2, per la mancata risposta del professor Somma, quindi non resta che 4 e 1.

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