Problema su potenze

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Paolo3
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Problema su potenze

Messaggio da Paolo3 » mar feb 23, 2016 9:33 am

Dimostrare che $e^p >p^e$, e e' il numero di Nepero e p pgreco.

peppe
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Re: Problema su potenze

Messaggio da peppe » mar feb 23, 2016 12:00 pm

Questo quesito mi ricorda un vecchio post del 2011 dal titolo "confronti" .
Esattamente l'intervento di sab apr 30, 2011 7:05 pm, che si trova
in fondo a questa pagina:
http://www.base5forum.it/confronti-t1364.html

Dimostrare (per approssimazioni successive) senza l’uso della calcolatrice e
con le sole operazioni di potenza e radice che pi^e < 24.


Ora resto in attesa della soluzione per allungare la lista delle mie "curiosità". Ciao.
«Un uomo è come una frazione il cui numeratore è quello che è, e il cui denominatore quello che pensa di sé.
Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

Paolo3
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Re: Problema su potenze

Messaggio da Paolo3 » mar feb 23, 2016 4:10 pm

Questo quesito l'avevo trovato in un libro di rompicapo che non dava la soluzione, solo con la calcolatrice ho trovato che $e^p$ è tra i due il numero più grande. Ho cercato una soluzione analitica ma al massimo sono riuscito a trovare espressioni equivalenti tipo:$p>e*ln(p)$. Credo che l'unica soluzione senza usare la calcolatrice siano le approssimazioni successive.

peppe
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Re: Problema su potenze

Messaggio da peppe » mar feb 23, 2016 5:45 pm

Trascrivo da qui:
https://it.answers.yahoo.com/question/i ... 017AAtf49j

la risposta di Trig86
[...]
Molto molto carina la domanda...ti dico come farei io!

dunque, innanzitutto riscriviamo pi^(e) così:
pi^(e)= e^(e*log(pi))

Chiunque mastichi un minimo di matematica sa che quest'uguaglianza è vera.
Quindi ora confrontiamo

e^(pi) con e^(e*log(pi))

Poiché la base è identica, basta vedere quale dei 2 esponenti è maggiore
Ovvero:
è maggiore pi, oppure e*log(pi)?

Come prima, scriviamo

pi come e^(log(pi))

Quindi il confronto si riduce a vedere chi è più grande tra

e^(log(pi)) ed e*log(pi)

Poiché log(pi) è un numero maggiore di 1, è chiaro che fra i due termini
il maggiore è e^log(pi).
Infatti in generale e^a è maggiore di e*a, per ogni a>1

Quindi è più grande e elevato pigreco!

Credo che questa dimostrazione sia valida anche se l'ho scritta un po' alla buona
Occhio falcidia(*) coi metodi troppo sbrigativi...il risultato ti è venuto sbagliato!
Ciao! Trig86
[...]
--
(*)Falcidia aveva risposto:
[...]

"pigreco elevato alla e"

Dimostrazione: approssimando e=2 e pi greco=3.

2^3 = 8 mentre

3^2 = 9.

Personalissimo metodo sbrigativo ma efficace!!!
[...]

Un'altra dimostrazione l'ho trovata qui:
https://it.answers.yahoo.com/question/i ... 308AAd43W6

e^TT > TT^e

( applichi il ln ad entrambi)

TT> ln TT^e

(proprietà dei logaritmi)

TT> e*lnTT

ricordando che:

TT = 3,14
e = 2,71

lnTTsarà intorno ad uno perchè 3,14>2,7
quindi:

3,14> 2,7 * 1,1
3,14> 2,97

Ruth

Saluti.peppe
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Re: Problema su potenze

Messaggio da peppe » mar feb 23, 2016 6:02 pm

Per approfondire:
http://web.mclink.it/MC5834/giochi8.htm
http://web.mclink.it/MC5834/solgio8.htm

D'avvero un gran bel sito questo del Prof. La Posta. Lo conosco da moltissimi anni:
http://web.mclink.it/MC5834/corrado.htm

Divagazioni sul tema..."Il pigro pigreco e l'evanescente e". Un tarlo che mi perseguita ecc.ecc.
https://groups.google.com/forum/#!topic ... e5bVsAjQq8

Credo che possa bastare.
Ciao.
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Re: Problema su potenze

Messaggio da Gianfranco » gio feb 25, 2016 11:03 am

Questa è la mia dimostrazione, senza usare gli sviluppi in serie.

Vogliamo dimostrare che:
e^\pi>\pi^e

Partiamo da una considerazione generale, confrontando le funzioni e^x ed x^e

Consideriamo quindi la funzione:
y=e^x-x^e

Troviamo se e dove tale funzione ha un minimo.

La derivata prima è:
y' = e^x - e x^{e-1}

Tale derivata si annulla per:
e^x = e x^{e-1}

Dividiamo per e:
e^{x-1} = x^{e-1}

ovvero:
\Large \frac{e^x}{e} = \frac{x^e}{x}

Straordinariamente si vede a occhio che l'uguaglianza è vera per x=e.
Perciò la funzione ha un minimo per x=e, dove vale y=0.

Quindi, per x \neq e la funzione è y>0.
In particolare, poiché \pi \neq e, la funzione è positiva per x=\pi

Ovvero:
e^\pi-\pi^e>0

Cioè, in conclusione:
e^\pi>\pi^e
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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