Problema LXXXVIII da "L'Algebra" di Bombelli.

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Problema LXXXVIII da "L'Algebra" di Bombelli.

Messaggio da Bruno » lun ott 02, 2017 9:24 am

Trovare due numeri tali che il loro prodotto, se sommato a uno qualsiasi di essi, fornisca un quadrato.
La somma delle basi dei due quadrati così ottenuti, inoltre, deve essere uguale a 12.

Come Rafael Bombelli, affrontiamo il problema rimanendo nel campo dei numeri razionali.

Alla fine pubblicherò la soluzione di Bombelli. Si basa su metodi utilizzati sia prima di lui che dopo,
però è molto istruttiva :wink:



Testo originale (pag. 360, Feltrinelli, prima edizione integrale del 1966):

«Trovinsi dui numeri tali che al produtto loro gionto qual si voglia di loro faccia numero quadrato
e che li lati delli dui numeri quadrati gionti insieme facciano 12.»
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Re: Problema LXXXVIII da "L'Algebra" di Bombelli.

Messaggio da Pasquale » ven ott 06, 2017 12:58 am

Traducendo il quesito nel sistema:

\{ab+a = x^2\\ab+b = y^2

con x+y = 12, ho pensato di procedere per tentativi, impostando 13 diversi sistemi:

\{ab+a = 0^2\\ab+b = 12^2

\{ab+a = 1^2\\ab+b = 11^2

\{ab+a = 2^2\\ab+b =10^2
.
.
.
\{ab+a = 12^2\\ab+b = 0^2

simmetrici rispetto al sistema:

\{ab+a = 6^2\\ab+b = 6^2


Caso vuole che, risolvendo il primo sistema, si trovano subito:

a = -145
b = -1

Mi sono fermato qui.
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Re: Problema LXXXVIII da "L'Algebra" di Bombelli.

Messaggio da Bruno » ven ott 06, 2017 8:01 am

Ok, Pasquale. Il primo sistema fornisce anche 0 e 144, volendo.
Per questo problema possiamo utilizzare i numeri razionali, lo dicevo all'inizio, proprio come ha fatto Bombelli :wink:
Forse le cose non si semplificano, però sono lo stesso interessanti.
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Re: Problema LXXXVIII da "L'Algebra" di Bombelli.

Messaggio da Pasquale » ven ott 06, 2017 3:35 pm

Si giusto, mi sono fermato ad una soluzione, perché m'interessava di trovare un procedimento, ma naturalmente per completezza ...4° grado...4 soluzioni:

a=-1; b=-145
a=0; b=144
a=-145; b=-1
a=144; b=0

Non ho guardato se fra gli altri sistemi ce ne sono con soluzioni razionali: certamente l'ultimo sistema è uguale al primo, come il penultimo al secondo, ecc.

Quanto sopra nella speranza che ci sia qualche studente di media superiore appassionato agli studi matematici, come lo ero io tantissimi anni fa, per quel poco che mi resta nella memoria.

OK: ho dato uno sguardo e naturalmente altre soluzioni con irrazionali non possono portare ad un intero come somma delle radici quadrate.
Cambiando la somma 12 con altro N, si trova sempre la stessa tipologia di soluzioni sopra riportate, come mostra il seguente programmino in Decimal Basic:

INPUT PROMPT " inserisci un numero a piacere da 1 a 31":n
PRINT
FOR a= -1000 TO 1000
FOR b=-1000 TO 1000
LET x2=a*b+a
LET y2=a*b+b
IF x2>=0 AND y2>=0 THEN
IF SQR(x2)+ SQR(y2)=n THEN PRINT a;b
END IF
NEXT B
NEXT A
END
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Re: Problema LXXXVIII da "L'Algebra" di Bombelli.

Messaggio da Bruno » ven ott 06, 2017 4:21 pm

Mitico Decimal Basic!

Di soluzioni razionali, naturalmente, se ne possono trovare infinite e le strategie possono essere diverse, come vedremo :wink:
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Re: Problema LXXXVIII da "L'Algebra" di Bombelli.

Messaggio da vittorio » sab ott 07, 2017 5:11 pm

Scriviamo
1) x\cdot(y+1)=p^2,
2) y\cdot(x+1)=q^2.
Sottraendo la 1) dalla 2) si ottiene
3) y=x-p^2+q^2
da cui, sostituendo y nella 2) e riducendo, si ricava
4) x^2-x\cdot(p^2-q^2-1)-p^2=0
Le soluzioni della 4) devono essere razionali. Occorre quindi che il discriminante della 4) sia un quadrato perfetto cioè che sia
5) (p^2-q^2-1)^2+4\cdot p^2=(p^2+2\cdot p\cdot q+q^2+1)\cdot(p^2-2\cdot p\cdot q+q^2+1)=n^2
Ponendo p+q=s (s>0) si ricava quindi
6) (s^2+1)\cdot (4 \cdot p^2-4\cdot p\cdot s+s^2+1)=n^2.
Poichè la 6) risulta verificata per p=0 e n=s^2+1 poniamo allora n=l\cdot p+s^2+1 con l parametro razionale. Da questa, sostituendo nella 6) e risolvendo, si ottiene, oltre alla soluzione p=0, la soluzione
7) p=\frac{2\cdot (l+2\cdot s)\cdot(s^2+1)}{4\cdot (s^2+1)-l^2} e q=\frac{l\cdot (l\cdot s+2\cdot (s^2+1))}{l^2-4\cdot (s^2+1)}
Sostituendo ora le 7) nella 4) si ottiene x e quindi dalla 3) si ottiene y. A questo punto il problema è risolto ovviamente scegliendo un valore di l per cui p e q siano entrambi positivi.

Nello specifico, per s=12 si ricava
p= \frac{290\cdot (l+24)}{580-l^2} q= \frac{2\cdot l \cdot (6\cdot l+145)}{l^2-580}

Considerando l=-25, si ha: p=58/9, q=50/9 e quindi x=116/9, y=20/9.
Scegliendo invece l=-1 si ricava: p=6670/579, q=278/579, x=76705/579, y=1/579. Eccetera.

Non ho ricavato le formule esplicite per x e y nel caso generico di somma s, formule che peraltro sono di immediata derivazione.
Non ho inoltre discusso i valori di p e q al variare di l. Osservo però che se p e q hanno lo stesso segno allora s è il valore assoluto della loro somma, se hanno segno diverso s e il valore assoluto della loro differenza.

Spero di non aver fatto errori nei calcoli o nelle trascrizioni delle formule.

Vittorio
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Re: Problema LXXXVIII da "L'Algebra" di Bombelli.

Messaggio da Bruno » sab ott 07, 2017 9:59 pm

Bravissimo, Vittorio :D

Mi sembra che non ci siano errori di trascrizione, ma forse potremmo considerare \,p\, e \,q\, con il
medesimo denominatore nelle formule finali.

Bello il fatto che tu abbia indovinato la fattorizzazione nel passaggio 5.


Questo è il ragionamento che ho fatto io.

Chiamo i numeri cercati $\,a\,$ e $\,b$.

Pongo:

\{ 
a\cdot (b+1) = p^2 \quad \Rightarrow \quad \{a = {\large \frac p h} \\  b+1 = p\cdot h, \quad b = p\cdot h-1 \.
\\
b\cdot (a+1) = q^2 \quad \Rightarrow \quad \{b = {\large \frac q k} \\  a+1 = q\cdot k, \quad a = q\cdot k-1

dove \,h\, e \,k\, sono parametri razionali diversi da zero.

Ecco, questo è il centro della mia idea, tutto ciò che segue è una mera manipolazione di simboli
e segni, il cui obiettivo è quello di passare da due variabili a una sola.

Vado avanti:

\{ 
{\large \frac p h}  = q\cdot k-1
\\
{\large \frac q k} = p\cdot h-1\.
\quad \Rightarrow \quad
\{ p = h \cdot {\large \frac{k^2 + 1}{(h \cdot k)^2 - 1}}
\\
q = k \cdot {\large \frac{h^2 + 1}{(h \cdot k)^2 - 1}}\.
\quad \Rightarrow \quad
\{ a = {\large \frac{k^2 + 1}{(h \cdot k)^2 - 1}}
\\
b = {\large \frac{h^2 + 1}{(h \cdot k)^2 - 1}}\. \quad\quad\quad (|h\cdot k| \, \ne \,1).

Il problema impone anche:

p + q = 12,

pertanto:

h\cdot {\large \frac{k^2 + 1}{(h\cdot k)^2-1}} + k\cdot {\large \frac{h^2 + 1}{(h\cdot k)^2-1}} = 12 \quad \Rightarrow \quad h = {\large \frac {k + 12}{12\cdot k - 1}} .

Sostituisco nelle precedenti espressioni:

\{ 
a = {\large \frac{k^2 + 1}{(h \cdot k)^2 - 1}}
\\
b = {\large \frac{h^2 + 1}{(h \cdot k)^2 - 1}}\.
\quad \Rightarrow \quad
\{ a = {\large \frac{\(12\cdot k-1\)^2}{\(k + 12\)^2 - 145}}
\\
b = {\large \frac{145}{\(k + 12\)^2 - 145}.}\.

Poiché \,k\, è razionale, il denominatore è sempre diverso da zero.

Per $\,a\,$ e $\,b\,$, in questo modo, ho individuato delle forme chiuse razionali.

Se fisso \quad k=1, \, ottengo:

\{ 
a = {\large \frac{\(12\cdot 1-1\)^2}{\(1 + 12\)^2 - 145}}
\\
b = {\large \frac{145}{\(1 + 12\)^2 - 145}}\.
\quad \Rightarrow \quad 
\{ a = {\large \frac{121}{24}}
\\
b = {\large \frac{145}{24}.}\.

E infatti:

{\large \frac{121}{24}}\cdot {\large \frac{145}{24}}\quad  + \quad{\large \frac{121}{24}} \quad = \quad \({\large \frac{143}{24}}\)^2,

{\large \frac{121}{24}}\cdot {\large \frac{145}{24}} \quad  + \quad {\large \frac{145}{24}} \quad = \quad  \({\large \frac{145}{24}}\)^2,

{\large \frac{143}{24}}\quad  + \quad {\large \frac{145}{24}}\quad =\quad 12\,.


Naturalmente, il procedimento può essere generalizzato, al posto di 12 si può considerare un
altro numero.
Le seguenti identità permettono di risolvere in maniera più generale il problema di Bombelli.
Se assumiamo un generico intero positivo \,s\, al posto di 12, abbiamo:

{\large \frac{(s\cdot k-1)^2}{(k+s)^2-(s^2+1)}\cdot \frac{s^2+1}{(k+s)^2-(s^2+1)}\quad + \quad \frac{(s\cdot k-1)^2}{(k+s)^2-(s^2+1)}\quad = \quad \(\frac{(k + s)\cdot (s\cdot k - 1)}{(k+s)^2-(s^2+1)}\)^2,
\\
{\large \frac{(s\cdot k-1)^2}{(k+s)^2-(s^2+1)}\cdot \frac{s^2+1}{(k+s)^2-(s^2+1)}\quad + \quad \frac{s^2+1}{(k+s)^2-(s^2+1)}}\quad = \quad \(\frac{k\cdot (s^2+1)}{(k+s)^2-(s^2+1)}\)^2,

essendo:

\large{\frac{(k + s)\cdot (s\cdot k - 1)}{(k+s)^2-(s^2+1)} \quad + \quad \frac{k\cdot (s^2+1)}{(k+s)^2-(s^2+1)} \quad = \quad s.}

Qui possiamo scegliere opportunamente \,k\, in modo che le basi dei quadrati siano positive,
rimanendo nello spirito di Bombelli.

Appena riesco, trascrivo la risoluzione del nostro Algebrista bolognese :wink:
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Re: Problema LXXXVIII da "L'Algebra" di Bombelli.

Messaggio da vittorio » mer ott 11, 2017 5:54 am

Per fare in modo che p e q nelle mie formule abbiano lo stesso denominatore è sufficiente sostituire l con -l.

Rimuginando sul problema mi è venuto in mente di sostituire la condizione p+q=12 con la condizione p^2+q^2=s^2 con s da determinare.
Ho fatto alcuni calcoli (ma non in maniera sistematica) ed ecco cosa ho trovato.

x=1 y=8
x(y+1)=9 y(x+1)=16 p=3 q=4
9+16=25 s=5

La cosa curiosa è che
x=1=s-q=q-p
y=8=s+p=q+q

Ciao
Vittorio
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Re: Problema LXXXVIII da "L'Algebra" di Bombelli.

Messaggio da Bruno » mer ott 11, 2017 9:02 am

vittorio ha scritto:Per fare in modo che p e q nelle mie formule abbiano lo stesso denominatore è sufficiente sostituire l con -l.
Ovvio.


Interessante, Vittorio, è la tua estensione.

Pensa: se al posto di 12 assumessimo 1, utilizzando le due identità che ho scritto sopra avremmo sempre\; p^2 + q^2 \, = \; :D

Ciò costituisce una risposta particolare (non scontata) alla tua variante del problema. Infatti:

{ \frac{(k-1)^2}{(k+1)^2-2}\cdot \frac{2}{(k+1)^2-2}\quad + \quad \frac{(k-1)^2}{(k+1)^2-2}\quad = \quad \(\frac{k^2-1}{(k+1)^2-2}\)^2,
\\
{ \frac{(k-1)^2}{(k+1)^2-2}\cdot \frac{2}{(k+1)^2-2}\quad + \quad \frac{2}{(k+1)^2-2}}\quad = \quad \(\frac{2\cdot k}{(k+1)^2-2}\)^2,

essendo, di conseguenza:

{\(\frac{k^2-1}{(k+1)^2-2}\)^2\quad + \quad \(\frac{2\cdot k}{(k+1)^2-2}\)^2 \quad = \quad \(\frac{k^2+1}{(k+1)^2-2}\)^2.}
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Re: Problema LXXXVIII da "L'Algebra" di Bombelli.

Messaggio da Bruno » ven ott 20, 2017 8:59 am

Ecco il procedimento di Rafael Bombelli.


Innanzitutto, chiamati \,a-1\, e \,b\, i numeri da trovare, fissa per uno di essi questa uguaglianza:

a\,=\, b \cdot t^2.

Ciò rende quadrato il risultato di una delle due operazioni richieste:

(a-1) \cdot b + b \,=\, (b \cdot t)^2.

Per quadrare l'altra operazione stabilisce la seguente equazione:

(a-1) \cdot b + (a-1)\,=\, (12 -b \cdot t)^2,

in modo che la somma delle basi dei quadrati ottenuti sia 12.

Se ora andiamo a sostituire $\,a\,$ con $\,b \cdot t^2$, ricaviamo:

\large b\, = \, \frac{145}{(t+12)^2-145}

e

\large a-1 \, =\, \frac{(12\cdot t - 1)^2}{(t+12)^2-145}\;,

due formule razionali per i numeri cercati, identiche a quelle che ho ottenuto più sopra con un altro approccio.


Efficace, essenziale :D
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