Potenze naturalmente disuguali

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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Potenze naturalmente disuguali

Messaggio da Bruno »

Abbiamo da dimostrare questa disuguaglianza:

$\frac{(n+2\)^{\tiny n}\cdot (n+3)^{\tiny n+1}}{(n+1)^{\tiny 2}} \, \ge \, 3^{\tiny n+1}\cdot (n!)^{\tiny 2}$

per ogni $\, n \,$ naturale.

(Bruno)
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leandro
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Messaggio da leandro »

Faccio due premesse-
1)Scriviamo la diseguaglianza al seguente modo:
$(n+2)^n(n+3)^{n+1}> 3^{n+1}[(n+1)!]^2$
2)Per n (intero) non minore di 1 si ha:
$(\frac{n+4}{n+2})^{n+2}>3$
Infatti si puo' scrivere:
$(\frac{n+4}{n+2})^{n+2}=([1+\frac{1}{(n+2)/2}]^{\frac{n+2}{2}})^2>2^2>3$
Cio' fatto ,per semplicita' poniamo:
$P_n=(n+2)^n(n+3)^{n+1}$ da cui si trae che:
$\frac{P_{n+1}}{P_n}=\frac{(n+3)^{n+1}(n+4)^{n+2}}{(n+2)^n(n+3)^{n+1}}$
ovvero:
$\frac{P_{n+1}}{P_n}=(\frac{n+4}{n+2})^{n+2}(n+2)^2>3(n+2)^2$
e quindi:
(a) $P_{n+1}>3(n+2)^2P_n$
Procediamo ora per induzione.La diseguaglianza data e' certamente vera
per n=1 ed allora ,supponendola vera per un n generico,dimostriamo che
e' vera per n+1.
Infatti da (a) ricaviamo (essendo ora per ipotesi $P_n>3^{n+1}[(n+1)!]^2$)
$P{n+1}>3(n+2)^23^{n+1}[(n+1)!]^2=3^{n+2}[(n+2)!]^2$
e cio' prova che la diseguaglianza e' vera anche per n+1 e dunque e' vera sempre.
Ho tolto il segno di "=" perche' non mi pare che ci siano valori interi che
portino all'eguaglianza (salvo errori da parte mia!)
Leandro

Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Ottimo, Leandro :D
Bel procedimento!
Riguardo al segno "=", credo che l'autore della questione intendesse includere
anche lo zero, almeno io ho capito questo, alla maniera di Peano.
(La faccenda può sollevare mille discussioni, lo so, ma noi soffriamo molto meno,
in questo caso specifico, prendendola così :wink:)

Aggiungo solo una piccola sottolineatura su un passaggio che potrebbe non
essere immediato per tutti (e in questo momento sto pensando alle preziose
raccomandazioni di Pasquale a favore di chi è meno esperto).
Leandro ha scritto:Infatti si puo' scrivere:
$(\frac{n+4}{n+2})^{n+2}=([1+\frac{1}{(n+2)/2}]^{\frac{n+2}{2}})^2>2^2>3$
Infatti, questa parte contiene un caso particolare della disuguaglianza (senz'altro
nota a chi ha studiato analisi matematica):
$\(1+\frac{1}{n}\)^n \, \ge \,2 \;$ per ogni reale $\, n \, \ge \, 1$,

che si può dimostrare in vari modi.
(Bruno)

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Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Si potrebbe ragionare anche così, sempre per induzione, ma con una piccola
differenza rispetto al procedimento appena visto.
La disuguaglianza:

$1) \; (n+2)^{\small n}\cdot (n+3)^{\small n+1}\, \ge \, 3^{\small n+1}\cdot [(n+1)!]^{\small 2$

è certamente vera per $\small \, n = 0 \,$ (3 = 3) e per $\small \, n = 1 \,$ (48 > 36), come ha già detto
Leandro.
Quindi, supponendola vera per $\small \, n = r > 1 \,$:

$(r+2)^{\small r}\cdot (r+3)^{\small r+1}\, > \, 3^{\small r+1}\cdot [(r+1)!]^{\small 2$

moltiplico entrambi i membri per $\, (r+4)^{\small r+2} \,$, per far comparire a sinistra lo stesso
1° membro della (1) con $\small \, n=r+1$:

$2) \; (r+2)^{\small r}\cdot (r+3)^{\small r+1}\cdot (r+4)^{\small r+2} \, > \, 3^{\small r+1}\cdot [(r+1)!]^{\small 2}\cdot (r+4)^{\small r+2}$

e poi cerco di verificare che:

$3^{\small r+1}\cdot [(r+1)!]^{\small 2}\cdot (r+4)^{\small r+2} \, > \, 3^{\small r+2}\cdot [(r+2)!]^{\small 2}\cdot (r+2)^{\small r}$

perché a destra ho il 2° membro della (1) con $\small \, n=r+1$, moltiplicato per il termine
$\small (r+2)^{\small r}$ che compare a sinistra della (2).
Quest'ultima disuguaglianza diventa subito:

$3) \; (r+4)^{\small r+2} \, > \, 3\cdot (r+2)^{\small 2}\cdot (r+2)^{\small r} = 3\cdot (r+2)^{r+2}$,

cioè la stessa trattata anche da Leandro.
Ora, però, ricordando i primi due termini dello sviluppo di Newton per $\, (a+b)^{\small n}$,
posso senz'altro dire che:

$(r+4)^{\small r+2} = [(r+2)+2]^{\small r+2} \, > \, (r+2)^{\small r+2}+2\cdot (r+2)\cdot (r+2)^{\small r+1} = 3\cdot (r+2)^{\small r+2},$

ottenendo così la (3).
Ma allora, richiamando la (2), ho:

$(r+2)^{\small r}\cdot (r+3)^{\small r+1}\cdot (r+4)^{\small r+2} \, > \, \, 3^{\small r+2}\cdot [(r+2)!]^{\small 2}\cdot (r+2)^{\small r}$

cioè, eliminando $\small \, (r+2)^{\small r}$ :

$(r+3)^{\small r+1}\cdot (r+4)^{\small r+2} \, > \, \, 3^{\small r+2}\cdot [(r+2)!]^{\small 2}$

che è la (1) estesa a $\, \small n = r+1 \,$, valida pertanto in generale.


(Bruno)
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